矩阵的拟上三角化（Hessenberg矩阵）

%实矩阵的拟上三角分解（Hessenberg分解） %用法:[Q,B]=hess2(A) %Q返回一个正交矩阵，B为相似于A的拟上三角矩阵 %注意：MATLAB自带了Hessenberg分解的函数hess(A) %By Castor 2010-12-25 function [Q,B]=hess2(A)     tic;     n=max(size(A));        s=zeros(n,1);     u=zeros(n,1);     c=0;     I=eye(n);     H=zeros(n,n);     Q=I;     B=I;     for r=1:n-2         s=A(:,r);         e=zeros(n,1);         for t=1:r             s(t,1)=0;         end         if s'*s==0  %所有分量全为零，取H=I，B保持不变             H=I;         else             if sign(A(r+1,r))==0                 c=sqrt(s'*s);             else                 c=-sign(A(r+1,r))*sqrt(s'*s);             end             e(r+1,1)=1;             u=s-c*e;             H=I-2*u*u'/(u'*u);         end         B=H*A*H;         A=B;         Q=Q*H;     end     toc; end

 测试矩阵的拟三角化：

>> A=[1 3 4;3 2 1;4 1 3]

A =

     1     3     4
     3     2     1
     4     1     3

>> [q,b]=hess2(A)
Elapsed time is 0.354213 seconds.

q =

    1.0000         0         0
         0   -0.6000   -0.8000
         0   -0.8000    0.6000

b =

    1.0000   -5.0000   -0.0000
   -5.0000    3.6000   -0.2000
   -0.0000   -0.2000    1.4000

>> I=q*q'

I =

    1.0000         0         0
         0    1.0000    0.0000
         0    0.0000    1.0000

>> q*A*q

ans =

    1.0000   -5.0000   -0.0000
   -5.0000    3.6000   -0.2000
   -0.0000   -0.2000    1.4000

 

如果使用MATLAB自带的函数hess：

>> [p,t]=hess(A)

p =

    0.2425   -0.9701         0
   -0.9701   -0.2425         0
         0         0    1.0000

t =

    0.5294    2.8824         0
    2.8824    2.4706   -4.1231
         0   -4.1231    3.0000

>> I=p*p'

I =

    1.0000    0.0000         0
    0.0000    1.0000         0
         0         0    1.0000

>> p*A*p

ans =

    0.5294    2.8824   -0.0000
    2.8824    2.4706   -4.1231
   -0.0000   -4.1231    3.0000

可见Hessenberg的转换不唯一，不同的HouseHolder矩阵将会产生不同的拟三对角矩阵