全排列（1） ----字典序

引言

对一个给定数据进行全排列，在各种场合经常会用到。组合数学中，生成全排列的方法有很多，卢开澄老师的《组合数学》中就介绍了三种：序数法，字典序法，临位互换法等。其中以字典序法由于算法简单，并且使用的时候可以依照当前状态获取下一个状态，直到所有排列全部完成，方便在程序中随要随用，应用比较广泛，STL中的Next_permutation也是使用此法。

算法定义

首先看什么叫字典序，顾名思义就是按照字典的顺序（a-z, 1-9）。以字典序为基础，我们可以得出任意两个数字串的大小。比如 "1" < "12"<"13"。 就是按每个数字位逐个比较的结果。对于一个数字串，“123456789”， 可以知道最小的串是 从小到大的有序串“123456789”，而最大的串是从大到小的有序串“*987654321”。这样对于“123456789”的所有排列，将他们排序，即可以得到按照字典序排序的所有排列的有序集合。

如此，当我们知道当前的排列时，要获取下一个排列时，就可以范围有序集合中的下一个数（恰好比他大的）。比如，当前的排列时“123456879”， 那么恰好比他大的下一个排列就是“123456897”。 当当前的排列时最大的时候，说明所有的排列都找完了。所有排列是一个递增的过程。

于是可以有下面计算下一个排列的算法：

设P是1～n的一个全排列:p=p1p2......pn=p1p2......pj-1pjpj+1......pk-1pkpk+1......pn

　　1）从排列的右端开始，找出第一个比右边数字小的数字的序号j（j从左端开始计算），即 j=max{i|pi

　　2）在pj的右边的数字中，找出所有比pj大的数中最小的数字pk，即 k=max{i|pi>pj}（右边的数从右至左是递增的，因此k是所有大于pj的数字中序号最大者）

　　3）对换pi，pk

　　4）再将pj+1......pk-1pkpk+1......pn倒转得到排列p'=p1p2.....pj-1pjpn.....pk+1pkpk-1.....pj+1，这就是排列p的下一个排列。

       例如839647521是数字1～9的一个排列。从它生成下一个排列的步骤如下：
　　自右至左找出排列中第一个比右边数字小的数字4  839647521
　　在该数字后的数字中找出比4大的数中最小的一个5  839647521
　　将5与4交换 839657421
　　将7421倒转 839651247
　　所以839647521的下一个排列是839651247。

字典序算法实现

#include

using namespace std;

void showPermutation( int *p, int n );
bool nextPermutation( int *p, int n );
void swap( int &a, int &b );

int main( int argc, char* argv[] )
{
    int iCount;
    int *pNumber;

    if( argc < 2 ){
        cout << "Usage: " << argv[0] << " number" <         cout << "\t" << "number is a plus integer less than 100!" <         return 0;
    }

    sscanf( argv[1], "%d", &iCount );
    cout << "Permutation of " << iCount << " numbers :" <

    pNumber = new int[iCount];
    for( int i=0; i         pNumber[i] = i+1;
    }

    showPermutation( pNumber, iCount );

    while( nextPermutation( pNumber, iCount ) ) {
        showPermutation( pNumber, iCount );
        //sleep(1);
    }

    if( pNumber ){
        delete[] pNumber;
    }
    return 0;
}

void showPermutation( int *p, int n )
//打印输出当前序列
{
    for( int i=0; i         cout << p[i] << " ";
    }
    cout << endl;
}

bool nextPermutation( int *p, int n )
//按字典序计算下一个序列
{
    
    int i=0, j=0, k=0;

    i = n-2;
    while( i>=0 && p[i]>p[i+1] ){
        i--;
    }

    if( i<0 ) return false;

    j=n-1;

    while(p[j]

        j--;

    swap( p[i], p[j] );

    for( j=n-1, k=i+1; k         swap( p[j], p[k] );
    }

    return true;
}

void swap( int &a, int &b )
{
    int tmp = a;
    a = b;
    b = tmp;
}