凸函数与凹函数

容易理解，若函数  为凸函数，那么  为凹函数。所以，讨论清楚了凸函数，等价于讨论清楚了凹函数。

现在我们来讨论凸函数，现设一函数  。在该函数定义域的凸区内任取两点  。设一点 ，那么易得，该点必包含于  之间。

 如图所示：

                                                                     

        图中含点  ，先构建线性函数的两点式，代入  两点，再代入  点的横坐标，得到其纵坐标为： 

                                             

 利用同时      我们可以得到：      

          所以  点的横坐标：             

再结合图像我们可以看出：

 

且当  时，可以取等号

 总结可得：

                  

 同理可得：

  

 

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