42. Trapping Rain Water

题目描述(困难难度)

题目描述:黑色的看成墙，蓝色的看成水，宽度一样，给定一个数组，每个数代表从左到右墙的高度，求出能装多少单位的水。也就是图中蓝色正方形的个数。

解法一 按行求

这是我最开始想到的一个解法，提交后直接 AC 了，自己都震惊了。就是先求高度为 1 的水，再求高度为 2 的水，再求高度为 3 的水。

整个思路就是，求第 i 层的水，遍历每个位置，如果当前的高度小于 i，并且两边有高度大于等于 i 的，说明这个地方一定有水，水就可以加 1。

如果求高度为 i 的水，首先用一个变量 temp 保存当前累积的水，初始化为 0 。从左到右遍历墙的高度，遇到高度大于等于 i 的时候，开始更新 temp。更新原则是遇到高度小于 i 的就把 temp 加 1，遇到高度大于等于 i 的，就把 temp 加到最终的答案 ans 里，并且 temp 置零，然后继续循环。

我们就以题目的例子讲一下。

先求第 1 行的水。

也就是红色区域中的水，数组是 height = [ 0, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 3, 2, 1, 2, 1 ] 。

原则是高度小于 1，temp ++，高度大于等于 1，ans = ans + temp，temp = 0。

temp 初始化为 0 ，ans = 0

height [ 0 ] 等于 0 < 1，不更新。

height [ 1 ] 等于 1 >= 1，开始更新 temp。

height [ 2 ] 等于 0 < 1， temp = temp + 1 = 1。

height [ 3 ] 等于 2 >= 1， ans = ans + temp = 1，temp = 0。

height [ 4 ] 等于 1 >= 1，ans = ans + temp = 1，temp = 0。

height [ 5 ] 等于 0 < 1， temp = temp + 1 = 1。

height [ 6 ] 等于 1 >= 1，ans = ans + temp = 2，temp = 0。

剩下的 height [ 7 ] 到最后，高度都大于等于 1，更新 ans = ans + temp = 2，temp = 0。而其实 temp 一直都是 0 ，所以 ans 没有变化。

再求第 2 行的水。

也就是红色区域中的水，

数组是 height = [ 0, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 3, 2, 1, 2, 1 ] 。

原则是高度小于 2，temp ++，高度大于等于 2，ans = ans + temp，temp = 0。

temp 初始化为 0 ，ans 此时等于 2。

height [ 0 ] 等于 0 < 2，不更新。

height [ 1 ] 等于 1 < 2，不更新。

height [ 2 ] 等于 0 < 2， 不更新。

height [ 3 ] 等于 2 >= 2， 开始更新

height [ 4 ] 等于 1 < 2，temp = temp + 1 = 1。

height [ 5 ] 等于 0 < 2， temp = temp + 1 = 2。

height [ 6 ] 等于 1 < 2， temp = temp + 1 = 3。

height [ 7 ] 等于 3 >= 2， ans = ans + temp = 5，temp = 0。

height [ 8 ] 等于 2 >= 2， ans = ans + temp = 3，temp = 0。

height [ 9 ] 等于 1 < 2， temp = temp + 1 = 1。

height [ 10 ] 等于 2 >= 2， ans = ans + temp = 6，temp = 0。

height [ 11 ] 等于 1 < 2， temp = temp + 1 = 1。

然后结束循环，此时的 ans 就是 6。

再看第 3 层。

按照之前的算法，之前的都是小于 3 的，不更新 temp，然后到 height [ 7 ] 等于 3，开始更新 temp，但是后边没有 height 大于等于 3 了，所以 ans 没有更新。

所以最终的 ans 就是 6。

看下代码吧。

public class Trapping_Rain_Water {
	//按行求
	public static int trap(int[] height) {
	    int sum = 0;
	    int max = getMax(height);//找到最大的高度，以便遍历。
	    for (int i = 1; i <= max; i++) {
	        boolean isStart = false; //标记是否开始更新 temp
	        int temp_sum = 0;
	        
	        for (int j = 0; j < height.length; j++) {
	            if (isStart && height[j] < i) {
	                temp_sum++;
	            }
	            
	            if (height[j] >= i) {
	                sum = sum + temp_sum;
	                temp_sum = 0;
	                isStart = true;
	            }
	        }
	        
	    }
	    return sum;
	}

	private static int getMax(int[] height) {
	    int max = 0;
	    for (int i = 0; i < height.length; i++) {
	        if (height[i] > max) {
	            max = height[i];
	        }
	    }
	    return max;
	}
	
	public static void main(String args[]) {
		int[] height= {0,1,0,2,1,0,1,3,2,1,2,1};
		int ans=trap(height);
		System.out.println(ans);
	}

}

时间复杂度：如果最大的数是 m，个数是 n，那么就是 O（m * n）。

空间复杂度： O （1）。

解法二 按列求

求每一列的水，我们只需要关注当前列，以及左边最高的墙，右边最高的墙就够了。

装水的多少，当然根据木桶效应，我们只需要看左边最高的墙和右边最高的墙中较矮的一个就够了。

所以，根据较矮的那个墙和当前列的墙的高度可以分为三种情况。

• 较矮的墙的高度大于当前列的墙的高度
  
  把正在求的列左边最高的墙和右边最高的墙确定后，然后为了方便理解，我们把无关的墙去掉。

这样就很清楚了，现在想象一下，往两边最高的墙之间注水。正在求的列会有多少水？

很明显，较矮的一边，也就是左边的墙的高度，减去当前列的高度就可以了，也就是 2 - 1 = 1，可以存一个单位的水。

• 较矮的墙的高度小于当前列的墙的高度
  
  同样的，我们把其他无关的列去掉。
  
  想象下，往两边最高的墙之间注水。正在求的列会有多少水？

正在求的列不会有水，因为它大于了两边较矮的墙。

• 较矮的墙的高度等于当前列的墙的高度。
  和上一种情况是一样的，不会有水。
  
  明白了这三种情况，程序就很好写了，遍历每一列，然后分别求出这一列两边最高的墙。找出较矮的一端，和当前列的高度比较，结果就是上边的三种情况。

public class Trapping_Rain_Water2 {
	
	public static int trap(int[] height) {
	    int sum = 0;
	    //最两端的列不用考虑，因为一定不会有水。所以下标从 1 到 length - 2
	    for (int i = 1; i < height.length - 1; i++) {
	        
	    	int max_left = 0;
	        //找出左边最高
	        for (int j = i - 1; j >= 0; j--) {
	            if (height[j] > max_left) {
	                max_left = height[j];
	            }
	        }
	        
	        int max_right = 0;
	        //找出右边最高
	        for (int j = i + 1; j < height.length; j++) {
	            if (height[j] > max_right) {
	                max_right = height[j];
	            }
	        }
	        
	        //找出两端较小的
	        int min = Math.min(max_left, max_right);
	        //只有较小的一段大于当前列的高度才会有水，其他情况不会有水
	        if (min > height[i]) {
	            sum = sum + (min - height[i]);
	        }
	        
	    }
	    return sum;
	}
	
	public static void main(String args[]) {
		int[] height= {0,1,0,2,1,0,1,3,2,1,2,1};
		int ans=trap(height);
		System.out.println(ans);
	}
}

时间复杂度：O（n²），遍历每一列需要 n，找出左边最高和右边最高的墙加起来刚好又是一个 n，所以是 n²。

空间复杂度：O（1）。

解法三 动态规划

我们注意到，解法二中。对于每一列，我们求它左边最高的墙和右边最高的墙，都是重新遍历一遍所有高度，这里我们可以优化一下。

首先用两个数组，max_left [ i ] 代表第 i 列左边最高的墙的高度，max_right [ i ] 代表第 i 列右边最高的墙的高度。（一定要注意下，第 i 列左（右）边最高的墙，是不包括自身的，和 leetcode 上边的讲的有些不同）

对于 max_left 我们其实可以这样求。

max_left [ i ] = Max ( max_left [ i - 1] , height [ i - 1]) 。它前边的墙的左边的最高高度和它前边的墙的高度选一个较大的，就是当前列左边最高的墙了。

对于 max_right我们可以这样求。

max_right[ i ] = Max ( max_right[ i + 1] , height [ i + 1]) 。它后边的墙的右边的最高高度和它后边的墙的高度选一个较大的，就是当前列右边最高的墙了。

这样，我们再利用解法二的算法，就不用在 for 循环里每次重新遍历一次求 max_left 和 max_right 了。

public class Trapping_Rain_Water3 {
	//动态规划
	public static int trap(int[] height) {
	    int sum = 0;
	    int[] max_left = new int[height.length];
	    int[] max_right = new int[height.length];

	    for (int i = 1; i < height.length - 1; i++) {
	    	//第i列左边最高的墙高度
	        max_left[i] = Math.max(max_left[i - 1], height[i - 1]);
	    }
	    for (int i = height.length - 2; i >= 0; i--) {
	    	//第i列右边最高的墙高度
	        max_right[i] = Math.max(max_right[i + 1], height[i + 1]);
	    }
	    for (int i = 1; i < height.length - 1; i++) {
	        int min = Math.min(max_left[i], max_right[i]);
	        if (min > height[i]) {
	            sum = sum + (min - height[i]);
	        }
	    }
	    return sum;
	}
	
	public static void main(String args[]) {
		int[] height= {0,1,0,2,1,0,1,3,2,1,2,1};
		int ans=trap(height);
		System.out.println(ans);
	}
}

时间复杂度：O（n）。

空间复杂度：O（n），用来保存每一列左边最高的墙和右边最高的墙。

解法四 栈

说到栈，我们肯定会想到括号匹配了。我们仔细观察蓝色的部分，可以和括号匹配类比下。每次匹配出一对括号（找到对应的一堵墙），就计算这两堵墙中的水。

我们用栈保存每堵墙。

当遍历墙的高度的时候，如果当前高度小于栈顶的墙高度，说明这里会有积水，我们将墙的高度的下标入栈。

如果当前高度大于栈顶的墙的高度，说明之前的积水到这里停下，我们可以计算下有多少积水了。计算完，就把当前的墙继续入栈，作为新的积水的墙。

总体的原则就是，

当前高度小于等于栈顶高度，入栈，指针后移。
当前高度大于栈顶高度，出栈，计算出当前墙和栈顶的墙之间水的多少，然后计算当前的高度和新栈的高度的关系，重复第 2 步。直到当前墙的高度不大于栈顶高度或者栈空，然后把当前墙入栈，指针后移。

我们看具体的例子。

• 首先将 height [ 0 ] 入栈。然后 current 指向的高度大于栈顶高度，所以把栈顶 height [ 0 ] 出栈，然后栈空了，再把 height [ 1 ] 入栈。current 后移。
  
• 然后 current 指向的高度小于栈顶高度，height [ 2 ] 入栈，current 后移。
  
• 然后 current 指向的高度大于栈顶高度，栈顶 height [ 2 ] 出栈。计算 height [ 3 ] 和新的栈顶之间的水。计算完之后继续判断 current 和新的栈顶的关系。
  
• current 指向的高度大于栈顶高度，栈顶 height [ 1 ] 出栈，栈空。所以把 height [ 3 ] 入栈。 currtent 后移。
  
• 然后 current 指向的高度小于栈顶 height [ 3 ] 的高度，height [ 4 ] 入栈。current 后移。
  
• 然后 current 指向的高度小于栈顶 height [ 4 ] 的高度，height [ 5 ] 入栈。current 后移。
  
• 然后 current 指向的高度大于栈顶 height [ 5 ] 的高度，将栈顶 height [ 5 ] 出栈，然后计算 current 指向的墙和新栈顶 height [ 4 ] 之间的水。计算完之后继续判断 current 的指向和新栈顶的关系。此时 height [ 6 ] 不大于栈顶 height [ 4 ] ，所以将 height [ 6 ] 入栈。 current 后移。
  
• 然后 current 指向的高度大于栈顶高度，将栈顶 height [ 6 ] 出栈。计算和新的栈顶 height [ 4 ] 组成两个边界中的水。然后判断 current 和新的栈顶 height [ 4 ] 的关系，依旧是大于，所以把 height [ 4 ] 出栈。计算current 和 新的栈顶 height [ 3 ] 之间的水。然后判断 current 和新的栈顶 height [ 3 ] 的关系，依旧是大于，所以把 height [ 3 ] 出栈，栈空。将 current 指向的 height [ 7 ] 入栈。current 后移。
  其实不停的出栈，可以看做是在找与 7 匹配的墙，也就是 3 。
  
  而对于计算 current 指向墙和新的栈顶之间的水，根据图的关系，我们可以直接把这两个墙当做之前解法三的 max_left 和 max_right，然后之前弹出的栈顶当做每次遍历的 height [ i ] 。水量就是 Min ( max _ left ，max _ right ) - height [ i ]，只不过这里需要乘上两个墙之间的距离。可以看下代码继续理解下。

public static int trap6(int[] height) {
	    int sum = 0;
	    Stack<Integer> stack = new Stack<>();
	    int current = 0;
	    while (current < height.length) {
	    	
	        //如果栈不空并且当前指向的高度大于栈顶高度就一直循环
	        while (!stack.empty() && height[current] > height[stack.peek()]) {
	            int h = height[stack.peek()]; //取出要出栈的元素
	            stack.pop(); //出栈
	            if (stack.empty()) { // 栈空就出去
	                break; 
	            }
	            int distance = current - stack.peek() - 1; //两堵墙之前的距离。
	            int min = Math.min(height[stack.peek()], height[current]);
	            sum = sum + distance * (min - h);
	        }
	        
	        stack.push(current); //当前指向的墙入栈
	        current++; //指针后移
	    }
	    return sum;
	}
	public static void main(String args[]) {
		int[] height= {0,1,0,2,1,0,1,3,2,1,2,1};
		int ans=trap6(height);
		System.out.println(ans);
	}
}

时间复杂度：虽然 while 循环里套了一个 while 循环，但是考虑到每个元素最多访问两次，入栈一次和出栈一次，所以时间复杂度是 O（n）。
空间复杂度：O（n）。栈的空间。