HihoCoder - 1142

描述

这一次我们就简单一点了，题目在此：
week40_1.PNG

在直角坐标系中有一条抛物线y=ax^2+bx+c和一个点P(x,y)，求点P到抛物线的最短距离d。
提示：三分法

×

提示：三分法

在之前的几周中我们了解到二分法作为分治中最常见的方法，适用于单调函数，逼近求解某点的值。
但当函数是凸形函数时，二分法就无法适用，这时就需要用到三分法。
从三分法的名字中我们可以猜到，三分法是对于需要逼近的区间做三等分：
week40_2.PNG

我们发现lm这个点比rm要低，那么我们要找的最小点一定在[left,rm]之间。如果最低点在[rm,right]之间，就会出现在rm左右都有比他低的点，这显然是不可能的。 同理，当rm比lm低时，最低点一定在[lm,right]的区间内。
利用这个性质，我们就可以在缩小区间的同时向目标点逼近，从而得到极值。

接下来我们回到题目上，抛物线和点之间的距离可以简单的用直线公式计算：
即d = min{sqrt((X - x)^2+(aX^2+bX+c-y)^2)}
该公式展开后为4次，需要采用求导等方法来求极值。对于计算机编程来说是很麻烦的一件事。

进一步观察题目，我们可以发现根据带入的X值不同，d的长度恰好满足凸形函数。
而我们要求的最短距离d，正好就是这个凸形函数的极值。
那么三分法不就正好可以用来解决这道题目了么？

需要注意在解题过程中一定要想清楚如何划分区间，我们求的各个变量到底是什么含义。
另外，这道题还有一个小小的trick，在解决的时候请一定要小心。
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输入
第1行：5个整数a,b,c,x,y。前三个数构成抛物线的参数，后两个数x,y表示P点坐标。-200≤a,b,c,x,y≤200

输出
第1行：1个实数d，保留3位小数(四舍五入)

Sample Input

2 8 2 -2 6

Sample Output

2.437

思路

基本的三分
注意以对称轴分两段即可

代码示例

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
int debug_num=0;
#define debug cout<<"debug "<<++debug_num<<" :"

const double eps=1e-6;

double a,b,c;
double x,y;

double solve_dis(double xx)
{
    double yy=a*xx*xx+b*xx+c;
    double dis=(xx-x)*(xx-x)+(y-yy)*(y-yy);
    return dis;
}

int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    //ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>a>>b>>c>>x>>y;
    double t=-b/(2*a);
    double l,r;
    if(x200;
        r=t;
    }
    else{
        l=t;
        r=200;
    }
    while(r-l>eps)
    {
        double mid=(l+r)/2;
        double midmid=(mid+r)/2;
        //debug<
        double mid_v=solve_dis(mid);
        double midmid_v=solve_dis(midmid);
        if(mid_v>=midmid_v) l=mid;
        else r=midmid;
    }
    //cout<
    printf("%.3f\n",sqrt(solve_dis(r)));
    return 0;
}