算法笔记---最短路路径之Floyd(弗洛伊德)算法

                                                                     最短路路径之Floyd(弗洛伊德)算法

Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题。

Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N³)，空间复杂度为O(N²)。

[编辑]原理

Floyd-Warshall算法的原理是动态规划。

设D_i,j,k为从i到j的只以(1..k)集合中的节点为中间节点的最短路径的长度。

1. 若最短路径经过点k，则D_i,j,k = D_{i,k,k − 1} + D_{k,j,k − 1}；
2. 若最短路径不经过点k，则D_i,j,k = D_{i,j,k − 1}。

因此，D_i,j,k = min(D_{i,k,k − 1} + D_{k,j,k − 1},D_{i,j,k − 1})。

在实际算法中，为了节约空间，可以直接在原来空间上进行迭代，这样空间可降至二维。（见下面的算法描述）

此算法最重要的一点就是k视为中间变量：

if(map[i][k]!=inf && map[k][j]!=inf && map[i][j]>map[i][k]+map[k][j])
                    map[i][j]=map[i][k]+map[k][j];//算法实现的关键所在

下面依然以HDU-OJ-1874为例子讲解此题。

题目的意思不在赘述。

代码实现过程如下：

 

 

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define inf 9999999
#define N 205
using namespace std;

int map[N][N];
int n,m,s,e;

void Flord()
{
    int i,j,k;
    for(k=0; kmap[i][k]+map[k][j])
                    map[i][j]=map[i][k]+map[k][j];//算法实现的关键所在
    if(map[s][e]!=inf)
        printf("%d\n",map[s][e]);
    else
        printf("-1\n");
}
int main()
{
    int i,j;
    int x,y,z;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        for(i=0;iz)
                map[x][y]=map[y][x]=z;
        }
        scanf("%d %d",&s,&e);
        Flord();
    }
    return 0;
}