洛谷P1118 数字三角形

题目描述

有这么一个游戏:写出一个1至N的排列ai
​ ,然后每次将相邻两个数相加,构成新的序列,再对新序列进行这样的操作,显然每次构成的序列都比上一次的序列长度少1,直到只剩下一个数字位置。下面是一个例子:
洛谷P1118 数字三角形_第1张图片
最后得到16这样一个数字。

现在想要倒着玩这样一个游戏,如果知道N,知道最后得到的数字的大小sum
sum,请你求出最初序列ai,为1至N的一个排列。若答案有多种可能,则输出字典序最小的那一个。

题目解析

这道题其实就是杨辉三角加搜索。下面来分析一下:
假设n为1,全排列只有1个,为1
洛谷P1118 数字三角形_第2张图片

假设n为2,选择1-2的一个全排列,为2,1。
洛谷P1118 数字三角形_第3张图片
假设现在n为3,选择1-3其中一个全排列,为2,3,1。
洛谷P1118 数字三角形_第4张图片
假设现在n为4,我们随便选择1-4的其中一个全排列,为1,2,3,4。
洛谷P1118 数字三角形_第5张图片
到这个我们就可以发现规律了,随着n的变化,n的全排列前的系数也在发生变化,无论是个数或者数值,现在我将这些系数整理一下。
洛谷P1118 数字三角形_第6张图片
发现了吧,这些系数随着n的变化而变化,最终构成了一个杨辉三角,那么知道这个规律后,我们来解题就简单了,就是一个全排列+杨辉三角的事情了。

构造杨辉三角数组

  for(int i = 1; i <= n; i ++){
        ptri[i][1] = ptri[i][i] = 1;
    }
    for(int i = 3; i <= n; i ++){
        for(int j = 2; j <= n; j ++){
            ptri[i][j] = ptri[i-1][j-1]+ptri[i-1][j];
        }
    }

剩下的就是全排列的事情了,在这边就不多做解释了。

代码实现

#include 
const int size = 15;
using namespace std;

int ptri[size][size];
int arr[size];
bool book[size],flag;
int n,sum;

void dfs(int cur,int val){
    if(val > sum || (val == sum && cur <= n) || flag){
        return ;
    }
    if(cur == n+1){
        if(val == sum){
            for(int i = 1; i <= n; i ++){
                cout << arr[i] << " ";
            }
            cout << endl;
            flag = true;
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        if(!book[i]){
            arr[cur] = i;
            book[i] = true;
            dfs(cur+1,val+ptri[n][cur]*i);
            book[i] = false;
        }
    }
}

int main() {
    cin >> n >> sum;
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        ptri[i][1] = ptri[i][i] = 1;
    }
    for(int i = 3; i <= n; i ++){
        for(int j = 2; j <= n; j ++){
            ptri[i][j] = ptri[i-1][j-1]+ptri[i-1][j];
        }
    }
    dfs(1,0);
    return 0;
}

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