[常用技巧] 数据离散化入门介绍

离散化是程序设计中一个非常常用的技巧，它可以有效地降低时间复杂度。其基本思想就是在众多可能的情况中“只考虑我需要用到的值”。下面用几个例子说明，如何运用离散化改进一个低效的，甚至根本不可能实现的算法。

先看UVA10173
[ http://acm.uva.es/p/v101/10173.html ]

题目意思很简单，给定平面上n个点的坐标，求能够覆盖这些点的最小的矩形面积。

由于不知道这个矩形到底有倾斜多少度，所以先从倾斜0度的矩形开始考虑：要使覆盖这些点的矩形面积最小，那么这个矩形的每一条边上必定都存在至少一个点。转换成代码就是：对于所有的点坐标进行查找，选出其中x最小，y最小，x最大，y最大的值，所围成的矩形就是当前倾角为0°时的最小面积。

然而这只考虑当倾角为0°时的情况，想要求出所有可能的情况，当然是很自然地想到，枚举所有矩形可能的倾角，对于每一个倾角，都能计算出最小的矩形面积，最后取其中的最小值。

这个算法是否是正确的呢？且不说是否正确，它从理论上甚至根本不可能实现。矩形的倾角是一个实数，它有无数种可能，你永远不可能枚举出每一种可能的情况。也就是说，这个倾角是一个连续的变量，“连续”自然是无法枚举倾角的根本原因。我们需要一种方法，把这个连续的变量变成一个一个的值，也就是“离散”的变量。这个过程就是我们所说的离散化。

经过思考可以证明，最小面积的矩形不但要求四条边上都有一个点，而且还要求有一条边上，有两个或者两个以上的点，这点可以用反证法来证明。假设每条边上都只有一个点，那么我们可以将整个矩形旋转一定的角度，从而使两个（或以上）的点落在同一条边上，得到一个面积更小的矩形。

于是我们发现，矩形内部某一条边的斜率必定与某两点之间的连线相同。如果我们计算出了所有过两点的直线的倾角，那么矩形倾角的取值只有可能是这些倾角，或者它减去90度以后的倾角。于是，这个倾角就被我们离散化了。

再看另外一个问题：
给定二维平面上的n个矩形，求其覆盖的总面积。平时的想法就是开一个与二维坐标规模相当的二维bool数组G[i][j] 代表坐标(i,j)到(i+1,j+1)这个1*1的格子是否被覆盖。可惜这个想法在这里有一些问题，因为这个题目中坐标范围相当大（10^8），然而矩形的数量n<=100远远小于坐标范围。每个矩形会在横坐标，纵坐标上各使用两个值，也就是说，100个句型的坐标也不过用了最多200个值，实际能代表划分范围的值就是这些，其他的都可以算作是冗余数据。
于是我们考虑将这些值作为新的坐标值重新划分整个平面，省去中间的若干没有出现的坐标值没有影响。把坐标范围离散化到1~200之间的数，于是一个200*200的二维数组就足够了。
实现方法就是将所有矩形“排序后处理”，对横坐标（纵坐标）进行一次排序并映射为1到2n的整数，同时再开一个新的200*200数组，记录新坐标的每两个相邻坐标之间在离散化前实际的距离是多少。

如下图，给定8个点：
（1,2）
（1,7）
（7,2）
（7,7）
（3,1）
（3,5）
（10,2）
（10,5）
仔细观察，是怎样把这8个点构造成先前的二位数组，以及离散化后的两个数组的。

先扫描一遍x轴上的区间，即可以分成多少段，每段的长度为多少。扫描到的坐标按序排列为(0),1,3,7,10，
所以可以归纳成3段，每段的横向长度分别为1,2,4,3。
再扫描y轴上的区间，按序排列为(0),1,2,5,7，同样归纳成4段，每段的纵向长度分别为1,1,3,2。
所以离散化后的数组为
1,2,4,3
1,2,4,3
3,6,12,9
2,4,8,6

离散化思想的核心，就是把无限的可能性中归纳到有限的空间中去，以此降低算法的时间复杂度和空间复杂度。