洛谷 P3159（BZOJ 2668）[CQOI2012]交换棋子

有一个\(n\)行\(m\)列的黑白棋盘，你每次可以交换两个相邻格子（相邻是指有公共边或公共顶点）中的棋子，最终达到目标状态。要求第\(i\)行第\(j\)列的格子只能参与\(m[i][j]\)次交换。

输入格式：

第一行包含两个整数\(n，m（1<=n, m<=20）\)。

以下\(n\)行为初始状态，每行为一个包含\(m\)个字符的\(01\)串，其中\(0\)表示黑色棋子，\(1\)表示白色棋子。

以下\(n\)行为目标状态，格式同初始状态。

以下\(n\)行每行为一个包含\(m\)个\(0-9\)数字的字符串，表示每个格子参与交换的次数上限。

输出格式：

输出仅一行，为最小交换总次数。如果无解，输出\(-1\)。

输入样例#1：

3 3
110
000
001
000
110
100
222
222
222

输出样例#1：

4

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最近一直在学习网络流。写到这个题目的时候，第一反应是：“这怎么可能是网络流呢？”用了一个下午写出来这道题后，感觉其思路实在妙极。

本题解力求让像我一样初学网络流（初学OI）的人能够看懂，如果还存在疑惑的话欢迎联系我哦~

看这个题目，很容易想到：可以记录黑色棋子的起始和终结位置，想办法去让棋子从起始位置走到终止位置，一一匹配。棋子在棋盘上走，走的过程中，棋子受到必须成功匹配（最大流）和在此基础上费用最小的约束条件。这样考虑的话，跑费用流自然是再合适不过了。如下图所示：

进一步考虑会发现，棋子的交换可以被视为在棋盘上的坐标移动。想要连通起始点和终止点，只需要在二者之间建立棋盘的八连通图，让棋子在对应位置上进出棋盘即可。

但是现在，有一个关键的问题：起始点和终止点作交换的时候， 消耗流量是\(1\)，但是对于中间节点，消耗流量却都应该是\(2\)。如果单纯的考虑把一个点拆分成一条边的话，无法处理这种边界情况，事情就变得相对比较麻烦。

回归题目来考虑，题目要求是交换，那么交换就有交换进来和交换出去这两种交换方法。根据这个给我们的灵感，我们可以考虑把一个点拆成\(3\)个：\(inn\)，\(mid\)和\(out\)，把原本的最大访问量均分在两端上，而把每次的进出流量视为\(1\)。这样同时又解决了进出棋盘的问题：直接在\(mid\)处进入棋盘就不用考虑其他麻烦的事情了。

那么流量均分的想法是否正确呢？基本上是对的。但是，现在我们有了\(inn\)->\(mid\)和\(mid\)->\(out\)两种边，如果边权是奇数，进出棋盘需要的流量只为\(1\)，原本不应该被忽略的零头\(1\)可能会被忽略或者非最优地分配。

所以这里又牵涉到了这一点边界的处理问题。如果棋盘开始和结束都有或都没有该棋子，那么我们对可用点权\(maxf\)取\(1/2\)。否则的话，分别考虑进入和出去的情况：

可以看到，进入时的\(mid\)->\(out\)，出去时的\(inn\)->\(mid\)会有一条耗流为\(1\)的边，我们考虑如果这个点不是既进又出节点，就给其存在\(1\)耗流边的一部分尝试多分配一点"零头"流量（即偶数分配为\(n/2\)或\((n+1)/2\)都一样，而奇数则分配为\(n/2\)：\((n+1)/2\)。）

为了便于各位理清思路，这里本人贴一下建图流程：

• 初始点->\(S\) \(f=1\) \(w=0\)
• 最终点<-\(T\) \(f=1\) \(w=0\)
• 初始点->对应坐标的\(mid\)节点 \(f=1\) \(w=0\)
• 对应坐标的\(mid\)节点->终止点 \(f=1\) \(w=0\)
• 棋盘内部的八连通：(\(out\)->\(in\)) \(f=INF\) \(w=1\)
• \(inn\)->\(mid\)和\(mid\)->\(out\)：\(w=1\)，根据情况确认选择 \(f=maxf/2\) 或者 \(f=(maxf+1)/2\)

至此，问题得以完美解决。代码冗长求轻喷。

#include
#include
#include
#include
#include
#define MAXN 2010
#define MAXM 64010 
#define INF 0x3f3f3f3f
#define fpop(x) x.front();x.pop()
using namespace std;

int pre_node[MAXN],pre_edge[MAXN];

char ch,mp_bg[25][25],mp_ed[25][25];

int n,m,cnt=-1,dis[MAXN],vis[MAXN],flow[MAXN],head[MAXN],maxf[25][25];

struct edge{
    int nxt,to,w,f;
}e[MAXM];
    
inline int _bg(int x,int y){return n*m*0+(x-1)*m+y;}//起始点[x,y]的编号
inline int _ed(int x,int y){return n*m*1+(x-1)*m+y;}//目标点[x,y]的编号 
inline int _inn(int x,int y){return n*m*2+(x-1)*m+y;}//棋盘[x,y]的Inn点编号 
inline int _mid(int x,int y){return n*m*3+(x-1)*m+y;}//棋盘[x,y]的mid点标号
inline int _out(int x,int y){return n*m*4+(x-1)*m+y;}//棋盘[x,y]的Out点编号 

inline bool in_map(int x,int y){
    return 1<=x && x<=n && 1<=y && y<=m;
}//判断是否越界 

inline void add_edge(int from,int to,int flw,int val){
    e[++cnt].nxt=head[from];
    e[cnt].to=to;
    e[cnt].f=flw;
    e[cnt].w=val;
    head[from]=cnt;
}

queueque;

inline bool spfa(int s,int t){
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    memset(flow,0x3f,sizeof(flow));
    que.push(s); vis[s]=true; dis[s]=0;
    while(!que.empty()){
        int u=fpop(que);
        for(int i=head[u];~i;i=e[i].nxt){
            int v=e[i].to;
            if(dis[v]>dis[u]+e[i].w && e[i].f){
                dis[v]=dis[u]+e[i].w;
                flow[v]=min(flow[u],e[i].f);
                pre_node[v]=u;
                pre_edge[v]=i;
                vis[v]=true;que.push(v);
            }
        }
    }
    return dis[t]!=INF;
}

int mv[8][2]={{1,0},{-1,0},{0,1},{0,-1},{1,1},{1,-1},{-1,1},{-1,-1}};

int main(){
    memset(head,-1,sizeof(head));
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=1;j<=m;++j){
            scanf(" %c",&mp_bg[i][j]);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=1;j<=m;++j){
            scanf(" %c",&mp_ed[i][j]);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=1;j<=m;++j){
            scanf(" %c",&ch);
            maxf[i][j]=ch-'0';
            //最大经过次数 
        }
    }
    //输入起始态和目标态棋盘
    int s=0,t=n*m*5+1;
    int cnt_1=0,cnt_2=0;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=1;j<=m;++j){
            if(mp_bg[i][j]==mp_ed[i][j]){
                add_edge(_inn(i,j),_mid(i,j),maxf[i][j]/2,0);
                add_edge(_mid(i,j),_inn(i,j),000000000000,0);
                
                add_edge(_mid(i,j),_out(i,j),maxf[i][j]/2,0);
                add_edge(_out(i,j),_mid(i,j),000000000000,0);
            }else{
                if(mp_bg[i][j]=='1'){
                    add_edge(_inn(i,j),_mid(i,j),(maxf[i][j]+0)/2,0);
                    add_edge(_mid(i,j),_inn(i,j),000000000000,0);
                    
                    add_edge(_mid(i,j),_out(i,j),(maxf[i][j]+1)/2,0);
                    add_edge(_out(i,j),_mid(i,j),000000000000,0);
                }
                if(mp_ed[i][j]=='1'){
                    add_edge(_inn(i,j),_mid(i,j),(maxf[i][j]+1)/2,0);
                    add_edge(_mid(i,j),_inn(i,j),000000000000,0);
                    
                    add_edge(_mid(i,j),_out(i,j),(maxf[i][j]+0)/2,0);
                    add_edge(_out(i,j),_mid(i,j),000000000000,0);
                }
            }
            
            if(mp_bg[i][j]=='1'){
                ++cnt_1;
                //连接源点到初始点     f=1 w=0;
                add_edge(s,_bg(i,j),1,0);
                add_edge(_bg(i,j),s,0,0);
                //连接起始点到棋盘 
                add_edge(_bg(i,j),_mid(i,j),1,0);
                add_edge(_mid(i,j),_bg(i,j),0,0);
            }
            if(mp_ed[i][j]=='1'){
                ++cnt_2;
                //连接终结点到汇点     f=1 w=0; 
                add_edge(_ed(i,j),t,1,0);
                add_edge(t,_ed(i,j),0,0);
                //连接棋盘到终结点 
                add_edge(_mid(i,j),_ed(i,j),1,0);
                add_edge(_ed(i,j),_mid(i,j),0,0);
            }
            //棋盘的八连通边  f=INF w=1;
            for(int k=0;k<8;++k){
                int ni=i+mv[k][0];
                int nj=j+mv[k][1];
                if(in_map(ni,nj)){
                    //从点[i,j]的out连接点[ni,nj]的inn 
                    add_edge(_out(i,j),_inn(ni,nj),INF,+1);
                    add_edge(_inn(ni,nj),_out(i,j),000,-1);
                }
            }
        }
    }
    //棋子数变动->No solution 
    if(cnt_1!=cnt_2){
        puts("-1");
        return 0;
    }
    //然后跑费用流 
    int max_flow=0,min_cost=0;
    while(spfa(s,t)){
        max_flow+=flow[t];
        min_cost+=flow[t]*dis[t];
        int u=t;
        while(u!=s){
            e[pre_edge[u]^0].f-=flow[t];
            e[pre_edge[u]^1].f+=flow[t];
            u=pre_node[u];
        }
    }
    if(max_flow!=cnt_1){
        puts("-1");
        return 0;
    }
    printf("%d\n",min_cost);
}

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