牛客多校1.H.Minimum-cost Flow

牛客多校1.H.Minimum-cost Flow

前话：因为多组没有初始化$cnt$边的数量，导致一直超时，懵逼了，对于多组数据重建图时，只需要初始化$cnt$和$h[]$数组$(head[])$即可。

题意：给定$(n,m)$无向图，$m$条带权有向边(费用已知容量未知)，给$q$次询问，每次询问给出$u,v,(u\le v)$,问在所有边容量为$\frac{u}{v}$下，总流量为$1$的最小费用。

思路：$MCMF+$贪心。

设$cost(x,y)为$在所有边容量为$x$下，总流量为$y$的最小费用。

考虑先跑一边$MCMF$，求出在所有边容量为$1$下的所有增广路。

则题意变为求$cost(\frac{u}{v},1)$。

因为所有边容量一样，所以$cost=\sum _{增广路个数cnt}^{cnt}flow[end]\times dis[end]=capacity\times \sum _{增广路个数cnt}^{cnt}dis[end]$。

即$cost$与$capacity$成线性关系。

所以有$cost(\frac{u}{v},1)=\frac{cost(u,v)}{v}$。

且设$capacity=1$对应的最大流为$maxflow$，

则$capactiy=u$对应的最大流也是线性关系为$maxflow\times u$。

所以我们先考虑特判不成立的情况。

即$1:v=0$，分母显然不能为0.

$2:maxflow\times u<v$,表示能到达的最大流不能满足总流量为$v$。

接下我们考虑怎么构造答案。

我们需要构造出一个总流量为$v$的方案，而每条增广路的流量贡献为$u$。

所以我们设$v=a\times u+b$。

表示我们需要$a$条增广路和一条流量只需要$b$的增广路。

之前我们已经求出了$cost(1,maxflow)$的所有增广路，因为$MCMF$求增广路的顺序就是由最小费用到最大费用的，所以我们直接根据贪心思想取前$a$条，和第$a+1$条作为$b$。

这样$cost(u,v)=a\times {\sum }_{i=1}^{a}aug[i]+b\times aug[a+1]$。

$aug[i]$表示第$i$条增广路的费用。

则最终答案为：$\frac{cost(u,v)}{v}$，约分一下即可。

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=105,M=2e4+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
#define mst(a) memset(a,0,sizeof a)
#define fmst(a) memset(a,0x7f,sizeof a)
#define lx x<<1
#define rx x<<1|1
#define reg register
#define PII pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
int cnt=1,h[N],flow[N],dis[N],vis[N],n,m,s,t,ans[N],tot;
queue<int>q;
struct edge{
    int to,nt,f,w;//f:flow ,w:cost
}e[N<<1];
int pre[N];
void add(int u,int v,int f,int w){
    e[++cnt]={v,h[u],f,w},h[u]=cnt;
}
bool spfa(){// 跑spfa
    fmst(dis),fmst(flow),mst(vis);  //初始化.
    q.push(s),dis[s]=0,vis[s]=1,pre[t]=-1;//预处理
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();q.pop();vis[u]=0;
        for(int i=h[u];i;i=e[i].nt){
            int v=e[i].to,f=e[i].f,w=e[i].w;
            if(f>0&&dis[v]>dis[u]+w){
                dis[v]=dis[u]+w;
                pre[v]=i;
                flow[v]=min(flow[u],f);
                if(!vis[v]) vis[v]=1,q.push(v);
            }
        }
    }
    return pre[t]!=-1;
}
void MCMF(){    //MIncost Maxflow
    while(spfa()){
        int u=t,x=flow[t];
        ans[++tot]=dis[u];
        while(u!=s){
            e[pre[u]].f-=x;
            e[pre[u]^1].f+=x;
            u=e[pre[u]^1].to;
        }
    }
    for(int i=1;i<tot;i++) ans[i+1]+=ans[i];
}
ll gcd(ll a,ll b){
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int main(){
    while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
    s=1,t=n,tot=0,cnt=1;
    mst(h);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u,v,w;
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        add(u,v,1,w),add(v,u,0,-w);
    }
    MCMF();
    int q;
    scanf("%d",&q);
    while(q--){
        int u,v;
        scanf("%d%d",&u,&v);
        if((!v)||1LL*tot*u<v) puts("NaN");
        else {
            int a=v/u,b=v%u;
            ll fz=1LL*ans[a]*u+1LL*b*(ans[a+1]-ans[a]);
            ll g=gcd(fz,v);
            printf("%lld/%lld\n",fz/g,v/g);
        }
    }
    }
    return 0;
}