P1417 - 烹调方案 - 动态规划

题解链接：

https://www.lucien.ink/archives/175/

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题目链接：

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1417

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题目：

题目背景

由于你的帮助，火星只遭受了最小的损失。但gw懒得重建家园了，就造了一艘飞船飞向遥远的earth星。不过飞船飞到一半，gw发现了一个很严重的问题：肚子饿了~

gw还是会做饭的，于是拿出了储藏的食物准备填饱肚子。gw希望能在T时间内做出最美味的食物，但是这些食物美味程度的计算方式比较奇葩，于是绝望的gw只好求助于你了。

题目描述

一共有n件食材，每件食材有三个属性，ai，bi和ci，如果在t时刻完成第i样食材则得到ai-t*bi的美味指数，用第i件食材做饭要花去ci的时间。

众所周知，gw的厨艺不怎么样，所以他需要你设计烹调方案使得美味指数最大

输入格式：

第一行是两个正整数T和n，表示到达地球所需时间和食材个数。

下面一行n个整数，ai

下面一行n个整数，bi

下面一行n个整数，ci

输出格式：

输出最大美味指数

输入样例#1：

74 1
502
2
47

输出样例#1：

408

说明

对于40%的数据1<=n<=10

对于100%的数据1<=n<=50

所有数字均小于100,000

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思路：

   因为先选和后选对答案会产生影响，所以需要先分析一下：

  假设第 i i 个物品是的三个数据为 ai、bi、ci a i 、 b i 、 c i ，第 j j 个物品的三个数据为 aj、bj、cj a j 、 b j 、 c j ，如果当前时间为 t t ，先选 i i 后选 j j 的贡献 x x 为：

   ai−(t+ci)×bi+aj−(t+ci+cj)×bj       a i − ( t + c i ) × b i + a j − ( t + c i + c j ) × b j

=ai+aj−t×(bi+bj)−cibi−cjbj−cibj = a i + a j − t × ( b i + b j ) − c i b i − c j b j − c i b j

  如果当前时间为 t t ，先选 j j 后选 i i 的贡献 y y 为：

   aj−(t+cj)×bj+ai−(t+cj+ci)×bi       a j − ( t + c j ) × b j + a i − ( t + c j + c i ) × b i

=ai+aj−t×(bi+bj)−cibi−cjbj−cjbi = a i + a j − t × ( b i + b j ) − c i b i − c j b j − c j b i

令： val=ai+aj−t×(bi+bj)−cibi−cjbj v a l = a i + a j − t × ( b i + b j ) − c i b i − c j b j

  则有：

x=val−cibj x = v a l − c i b j

y=val−cjbi y = v a l − c j b i

不妨设： x>y x > y ，则有： cibj<cjbi c i b j < c j b i

  也就是说，对于 i、j i 、 j 两个物品，先选 cibj c i b j 小的那个会更优，所以我们先按照这个规则进行一下排序，然后顺序进行0-1背包即可。

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实现：

#include 
typedef long long ll;
const int maxn = int(1e5) + 7;
ll T, n, dp[maxn], ans;
struct Node {
    ll a, b, c;
    bool operator < (const Node &tmp) const {
        return c * tmp.b < tmp.c * b;
    }
} node[maxn];
int main() {
//    freopen("in.txt", "r", stdin);
    scanf("%lld%lld", &T, &n);
    for (ll i = 0; i < n; i++) scanf("%lld", &node[i].a);
    for (ll i = 0; i < n; i++) scanf("%lld", &node[i].b);
    for (ll i = 0; i < n; i++) scanf("%lld", &node[i].c);
    std::sort(node, node + n);
    for (ll i = 0; i < n; i++)
        for (ll t = T; t >= node[i].c; t--)
            ans = std::max(dp[t] = std::max(dp[t], dp[t - node[i].c] + node[i].a - t * node[i].b), ans);
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}