拔河比赛

题意

一个学校举行拔河比赛，所有的人被分成了两组，每个人必须（且只能够）在其中的一组，要求两个组的人数相差不能超过1，且两个组内的所有人体重加起来尽可能地接近。  

分析

这道题目不满足动态规划最优子结构的特性。因为最优子结构要求一个问题的最优解只取决于其子问题的最优解。就这道题目而言，当前n-1个人的分组方案达到最优时，并不意味着前n个人的分组方案也最优。但题目中标注出每个人的最大体重为450，这就提醒我们可以从这里做文章，否则的话，命题者大可把最大体重标注到长整型。假设w[i]表示第i个人的体重。f[i,j,k]表示在前i个人中选j个人在一组，他们的重量之和等于k是否可能。显然，f[i,j,k]是boolean型，其值为true代表有可能，false代表没有可能。那f[i,j,k]与什么有关呢？从前i个人中选出j个人的方案，不外乎两种情况：⑴第i个人没有被选中，此时就和从前面i-1个人中选出j个人的方案没区别，所以f[i,j,k]与f[i-1,j,k]有关。⑵第i个人被选中，则f[i,j,k]与f[i-1,j-1,k-w[i]]有关。综上所述，可以得出：

f[i,j,k]=f[i-1,j,k] or f[i-1,j-1,k-w[i]]。

这道题占用的空间看似达到三维，但因为i只与i-1有关，所以在具体实现的时候，可以把第一维省略掉。另外在操作的时候，要注意控制j与k的范围（0<=j<=i/2，0<=k<=j*450），否则有可能超时。

这种方法的实质是把解本身当作状态的一个参量，把最优解问题转化为判定性问题，用递推的方法求解。这种问题有一个比较明显的特征，就是问题的解被限定在一个较小的范围内，如这题中人的重量不超过450。

var
n,i,j,k,n2,t,tj,min:longint;
f:array[0..50,0..450*50]of boolean;
w:array[0..100]of longint;
begin
    readln(n);
    tj:=0;n2:=(n+1) div 2;
    for i:=1 to n do
    begin
        readln(w[i]);
        tj:=w[i]+tj;
    end;
    fillchar(f,sizeof(f),0);
    f[0,0]:=true;
    for i:=1 to n do
    for j:=n2-1 downto 0 do
    for k:=450*i downto 0 do
    if f[j,k] then f[j+1,k+w[i]]:=true;
    min:=maxlongint;
    t:=0;
    for i:=0 to n2*450 do
    if (f[n2,i]=true)and(abs(tj-i-i)     begin
        min:=abs(tj-i-i);
        if i<=tj div 2 then t:=i else t:=tj-i;
    end;
    write(t,' ',tj-t);


end.