【剑指offer】整数中1出现的次数

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题目描述:

亲们!!我们的外国友人YZ这几天总是睡不好,初中奥数里有一个题目一直困扰着他,特此他向JOBDU发来求助信,希望亲们能帮帮他。问题是:求出1~13的整数中1出现的次数,并算出100~1300的整数中1出现的次数?为此他特别数了一下1~13中包含1的数字有110111213因此共出现6,但是对于后面问题他就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数。

输入:

输入有多组数据,每组测试数据为一行。

每一行有两个整数a,b(0<=a,b<=1,000,000,000)

输出:

对应每个测试案例,输出ab之间1出现的次数。

样例输入:
0 5
1 13
21 55
31 99
样例输出:
1
6
4
7
   思路:我们先写一个函数,求出从1到整数n之间1出现的次数,而后分别将要求输入的两个数(具体说,应该是最大的数,和最小的数减去1)作为参数传入该函数,得到的值相减,即可得到二者之间的的数中1出现的次数

    最简单的方法,分别求从1到n之间每个数中的1的个数,由于整数n的位数为O(logn),我们要判断一个数有多少个1,需要判断其每一位是否为1,这样一个数就需要判断O(logn)次,而总共有n个数需要求,那么该方法的时间复杂度为O(nlogn)。在九度OJ上用该方法写的代码测试,会超时。

    剑指offer上给了一种递归的思路,能将时间复杂度降到O(logn),总感觉这个思路有点偏,而且很难想到,我没仔细看。我的想法是各位分开统计,而且看到何海涛博客下面很多人留言,也用了这样的方法,就看了下详细的思路,并自己推导了下公式,写出了代码,感觉这种方法还是很nice的,直观易懂,而且代码简洁,时间复杂度同为O(logn)。

    这种方法的思路大概是这样的(懒得动手打了,直接copy):

    按每一位来考虑,

    1)此位大于1,这一位上1的个数有 ([n / 10^(b+1) ] + 1) * 10^b
    2)此位等于0,为 ([n / 10^(b+1) ] ) * 10^b
    3)此位等于1,在0的基础上加上n mod 10^b + 1

    举个例子:

    30143:
    由于3>1,则个位上出现1的次数为(3014+1)*1
    由于4>1,则十位上出现1的次数为(301+1)*10
    由于1=1,则百位上出现1次数为(30+0)*100+(43+1)
    由于0<1,则千位上出现1次数为(3+0)*1000

    注:以百位为例,百位出现1为100~199,*100的意思为单步出现了100~199,100次,*30是因为出现了30次100~199,+(43+1)是因为左后一次301**不完整导致。
    如果还不懂,自己拿纸和笔大致写下,找下规律,就能推导出来了!
    两外,需要注意一点:由于测试系统要求的输入数据最大为1,000,000,000,因此用int会溢出,要用long long,另外比较坑跌的一点是a可能比b大,居然都没有说明,有点坑了。
    AC代码如下:
#include

/*
分别统计num各位上1出现的次数,
相加得到1出现的总次数
*/
long long CountNum1(long long num)
{
	if(num <= 0)
		return 0;

	long long count = 0;	//统计1出现的次数
	long long current;    //当前位
	long long base = 1;	//当前位的基
	long long remain = 0;	//当前位为1时,后面位剩余的数(即不完整的部分)中1出现的次数
	while(num)
	{
		current = num%10;
		num = num/10;

		if(current > 1)
			 count += (num+1)*base;
		else if(current == 1)
			count += num*base + (remain+1);
		else
			count += num*base;
	
		//下一位要用到的基和剩余不完整部分值
		remain += current*base; 
		base *= 10;
	}

	return count;
}

int main()
{
	long long a,b;
	//a,b的大小不定
	while(scanf("%lld %lld",&a,&b) != EOF)
	{
		long long result;
		if(a > b)
			result = CountNum1(a) - CountNum1(b-1);
		else
			result = CountNum1(b) - CountNum1(a-1);

		printf("%lld\n",result);
	}
	return 0;
}
/**************************************************************
     Problem: 1373
     User: mmc_maodun
     Language: C
     Result: Accepted
     Time:0 ms
     Memory:912 kb
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