蔡高厅高等数学-02-去心邻域、函数的概念、定义域、值域、函数的有界性

视频02


去心邻域 把N(a,δ)的中心店a去掉，称为a的去心邻域，记为N(a^,δ) = {x|0<|x-a|<δ}
= N(a,δ)\{a}


二：函数的概念
函数的定义：
设有两个数集 X，Y，f是一个确定的对应规律，x属于X，通过对应法则f 都有唯一一个y属于Y，
与x对应，记为x->y ,或f(x) = y, 则称对应法则f为定义在X上的函数
其中X称为函数f的定义域，常记为Df
x-自变量-y 因变量当x 遍取X 中的一切数时，那么与之对应的y值构成一个数集，
记为Vf={y|y=f(x),x属于X}
则称Vf为函数f 的值域


注意：一个函数是由x，y 的对应法则，与x的取值范围X所确定的，把对应法则f还有函数的定义域称为
函数定义中的两个要素


y=arcsin（x^2+2） : 无定义域 不构成函数
判断两个函数是否相同
y=lnx^2 Df=(-∞,0),(0,∞)
y=2lnx Df=(0,+∞)


(2) 函数的值域
函数的值域是由函数的定义域和对应法则确定的


(3) 求函数的定义域应该注意两点
函数有实际的意义， 依据实际的问题是否有意义来确定
A=πx^2 x 属于 0，+∞
没有实际意义 ，使函数y=f(x)成立的一切实数所构成的集合
函数几何意义 设函数y=f(x),定义域为Df，x属于Df，对应的函数值y
在xo一面上得点（x,y）,当x遍取Df中的一切实数时，就得点集P。
P={(x,y)|y=f(x),x属于Df}
点集P称为函数y=f(x)的图形


三、函数的几个简单性质
1、函数的有界性
若存在 M >0 . 使得 |f(x)| <= M,x 属于I，
则称y=f(x)上在区间I 上是有界的。否则成f(x)上是无界的，即
对任何一个正数M，（无论多么大）,总存在一个点x属于I，始终存在|f（x）|>M
,则称f(x)在区间I上无界。
例如：y=sinx 在 I= （-∞，+∞） 上 是有界的 
y=1/x^2+1


y=1/x 在区间(0,1)上是无界的
证明