高等数学9.1（2）

2018.3.7

由于种种原因，今天把昨天的内容又重新上了一遍

觉得昨天写的东西有些不合逻辑

今天整理一下

 

新概念的引入——为了定义域的推广

之前类比一元函数（数轴上的）的特性，增加了一下概念；

1. 圆邻域、区域、点集

2. 内点、外点、边界点

3. 聚点——>内点一定是聚点，边界一般也是聚点。

4. 开集、闭集、连通集、闭区域、开区域、有界集、无界集

这些都是显然都是二维特性----点集说明了平面。

而平面则是二元函数的定义域。

有了定义域才能说明和定义二元函数。所以以上的概念务必记清楚，就像一元函数中的定义域、邻域概念，对于后来的概念和性质描述有重要的作用。

 

这里需要注意：一元函数的定义域与二元函数有着较大的不同。

一元函数的定义域是一个数集，而二元是点集，平面上的点------数对。

二元函数的定义域是数对集，这使得一元函数中的单调性，奇偶性，周期性——凡是需要考虑自变量变化的性质——不再适于研究。因为这时有了两个自变量，原来的性质定义不再适用。

有界性还可以继续研究。

多元函数的极限（重点）

整体思路；描述--存在性--求值

 

先说描述。类比一元函数，描述时会产生一下几个问题：

1. 一元函数中有自变量的趋近，趋近有两个方向。二元的怎么操作？

A:向点的靠近来自四面八方。

2. 一元函数中的趋近是通过距离（长短--无限接近）。对于两个自变量来说，

无限接近如何表达?

A：聚点的定义自带“无限”之意。聚点的概念同时表达了“任意方式”和“无限接近”。

3. 一维中的趋近是线性的。平面中呢？

A:它的路径可以变化多端，常用的有直线和规则曲线

明确了以上问题，二元函数的极限就很好理解了。仍要时刻关注，两个自变量的函数定义域是一个平面。

 

关于极限的几个小题目：

 

 

多元函数的连续：

思路同上。描述--性质

类比一元函数。

二元函数连续的定义仍是某点的极限等于函数值。

前提：

1. 该点在定义域内有定义

2. 存在该点的极限

3. 极限等于函数值

缺一个就是间断点或间断线。

注意：

1. 多元连续函数的加减乘除都是连续的

2. 它的复合函数也是连续的

3. 多元初等函数参见以上两条，都连续

连续就有规律：介值，中值，零点定理

 

闭区域连续函数的性质：介值、有界性与最大最小值。

 

附上经典题目：

 

 

啊啊，基本就这些了，改日再更。