【C++】浅析AVL树（高度平衡树）

一、AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，俩位俄罗斯的数学家G.MAdelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1（需要对树中的结点进行调整），即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

• 它的左右子树都是AVL树
• 左右子树高度之差（简称平衡因子）的绝对值不超过1（-1/0/1）

如果一颗二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在O(logN)，搜索时间复杂度O(logN)。

二、AVL树节点的定义

AVL树节点的定义：

template<class T>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode(const T& data)
		:_pLeft(nullptr)
	{}

	AVLTreeNode<T>* _pLeft;		//该节点的左孩子
	AVLTreeNode<T>* _pRight;	//该节点的右孩子
	AVLTreeNode<T>* _pParent;	//该节点的双亲
	T _data;
	int _bf;	//该节点的平衡因子
};

三、AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：

1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点

bool Insert(const T& data)
{
	//1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中
	if (nullptr == _pRoot)
	{
		_pRoot = new Node(data);
		return true;
	}

	//按照二叉搜索树的性质找data在AVL中的插入位置
	PNode pCur = _pRoot;
	PNode pParent = nullptr;
	while (pCur)
	{
		pParent = pCur;
		if (data < pCur->_data)
			pCur = pCur->pLeft;
		else if (data > pCur->_data)
			pCur = pCur->pRight;
		else
			return false;	//该节点在二叉搜索树中存在
	}

	//插入新节点：新节点一定插入在pParent的左侧或者右侧
	if (data < pParent->_data)
		pParent->pLeft = pCur;
	else
		pParent->pRight = pCur;

	//更新pCur的双亲结点
	pCur->_pParent = pParent;

	//2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性

	//...

	return true;
}

2. 调整节点的平衡因子

bool Insert(const T& data)
{
	//1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中
	
	//...

	//2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性

	/*
	pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent的平衡因子分三种情况：-1，0，1
	分以下两种情况：
	1. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可
	2. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可

	此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1，正负2
	1. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此时满足
		AVL树的性质，插入成功
	2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入之前pParent的平衡因子为0，插入后被更新成正负1，
		此时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新
	3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理
	*/

	while (pParent)
	{
		//更新双亲的平衡因子
		if (pCur == pParent->_pLeft)
			pParent->_bf--;
		else
			pParent->_bf++;

		//更新后检测双亲的平衡因子
		if (0 == pParent->_bf)
			break;
		else if (1 == pParent->_bf || -1 == pParent->_bf)
		{
			//插入前双亲的平衡因子是0，插入后双亲的平衡因子为1或者-1，
			//说明以双亲为根的二叉树的高度增加了一层，因此需要继续向上调整
			pCur = pParent;
			pParent = pCur->_pParent;
		}
		else
		{
			//双亲的平衡因子为正负2，违反了AVL树的平衡性，需要对以pParent为根的树进行旋转处理
			if (2 == pParent->_bf)
			{
				//...
			}
			else
			{
				//...
			}
		}
	}
	return true;
}

四、AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据结点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

1. 新结点插入较高左子树的左侧 — 左左：右单旋
   

/*
		上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树（注意：此处不是左孩子）中，
		30左子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，
		即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树，右子树根的值一定
		大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新结点的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：
		1. 30结点的右孩子可能存在，也可能不存在
		2.60可能是根结点，也可能是子树
		  如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点
		  如果是子树，可能是某个结点的左子树，也可能是右子树
	*/

	void _RotateR(PNode pParent)
	{
		//pSubL：pParent的左孩子
		//pSubLR：pParent的左孩子的右孩子
		PNode pSubL = pParent->_pLeft;
		PNode pSubLR = pSubL->_pRight;

		//旋转完成之后，30的右孩子作为双亲左孩子
		pParent->_pLeft = pSubLR;
		//如果30的左孩子的右孩子存在，更新双亲
		if (pSubLR)
			pSubLR->_pParent = pParent;

		//60作为30的右孩子
		pSubL->_pRight = pParent;

		//因为60可能是棵子树，因此在更新其双亲前必须先保存60的双亲
		PNode pParent = pParent->_pParent;

		//更新30的双亲
		pParent->_pParent = pSubL;

		//更新30的双亲
		pSubL->_pParent = pPParent;

		//如果60是根节点，根新指向根节点的指针
		if (NULL == pPParent)
		{
			_pRoot = pSubL;
			pSubL->_pParent = NULL;
		}
		else
		{
			//如果60是子树，可能是其双亲的左子树，也可能是右子树
			if (pPParent->_pLeft == pParent)
				pParent->_pLeft = pSubL;
			else
				pPParent->_pRight = pSubL;
		}

		//根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子
		pParent->_bf = pSubL->_bf = 0;
	}

2. 新节点插入较高右子树的右侧 — 右右：左单旋
   

3. 新节点插入较高左子树的右侧 — 左右：先左单旋再右单旋
   
   将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新。

//旋转之前，60的平衡因子可能是-1/0/1，旋转完成之后，根据情况对其他节点的平衡因子进行调整
	void _RotataLR(PNode pParent)
	{
		PNode pSubL = pParent->_pLeft;
		PNode pSubLR = pSubL->_pRight;

		//旋转之前，保存pSubLR的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节点的平衡因子
		int bf = pSubLR->_bf;

		//先对30进行左单旋
		_RotataL(pParent->_pLeft);

		//再对90进行右单旋
		_RotataR(pParent);

		if (1 == bf)
			pSubL->_bf = -1;
		else if (-1 == bf)
			pParent->_bf = 1;
	}

4. 新节点插入较高右子树的左侧 — 右左：先右单旋再左单旋
   

总结：
假如以pParent为根的子树不平衡，即pParent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑：

1、pParent的平衡因子为2，说明pParent的右子树高，设pParent的右子树的根为pSubR

• 当pSubR的平衡因子为1时，执行左单旋
• 当pSubR的平衡因子为-1时，执行左右双旋

2、pParent的平衡因子为-2，说明pParent的左子树高，设pParent的左子树的根为pSubL

• 当pSubL的平衡因子为-1时，执行右单旋
• 当pSubL的平衡因子为1时，执行左右双旋

旋转完成后，原pParent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

五、AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

1、 验证其为二叉搜索树
如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树

2、验证其为平衡树

• 每个节点子树高度差的绝对值不超过1（注意节点中如果没有平衡因子）
• 节点的平衡因子是否计算正确

//注意：此处需要验证两个内容：
//1、每个节点的平衡因子是否计算正确（通过节点的子树高度差来与当前节点的平衡因子比较）
//2、每个节点的平衡因子的绝对值是否超过1
int _Height(PNode pRoot)
{
	if (nullptr == pRoot)
		return 0;

	//计算pRoot左右子树的高度
	int leftHeight = _Height(pRoot->_pLeft);
	int rightHeight = _Height(pRoot->_pRight);

	//返回左右子树中较高的子树高度+1
	return (leftHeight > rightHeight) ? (leftHeight + 1) : (rightHeight + 1);
}

bool _IsBalanceTree(PNode pRoot)
{
	//空树也是AVL树
	if (nullptr == pRoot)
		return true;

	//计算pRoot节点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差
	int leftHeight = _Height(pRoot->_pLeft);
	int rightHeight = _Height(pRoot->_pRight);
	int diff = rightHeight - leftHeight;

	//如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，
	//或者pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树
	if (diff != pRoot->_bf || (diff > 1 || diff < -1))
		return false;

	//pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树
	return _IsBalanceTree(pRoot->_pLeft) && _IsBalanceTree(pRoot->_pRight);
}

3、验证用例

• 常规场景1
  

• 特殊场景2
  

六、AVL树的删除

因为AVL树也是二叉搜索树，可按照二叉搜索树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子，只不错与删除不同的是，删除节点后的平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。

AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二 叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1,这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即log2(N)。 但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作， 性能非常低下，比如: .插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多,更差的是在删除时,有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此:如果需要一种查询高效且有 序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。