原文：http://blog.csdn.net/arthur503/article/details/19966891
之前以为SVM很强大很神秘，自己了解了之后发现原理并不难，不过，“大师的功力在于将idea使用数学定义它，使用物理描述它”，这一点在看SVM的数学部分的时候已经深刻的体会到了，最小二乘法、梯度下降法、拉格朗日乘子、对偶问题等等被搞的焦头烂额。在培乐园听了讲课之后才算比较清晰的了解了整个数学推导的来龙去脉。
1. 为什么一定要研究线性分类？
首先说一下为什么对数据集一定要说线性可分或线性不可分，难道不可以非线性分开吗？想要非线性分开当然可以，实际上SVM只是把原来线性不可分的数据点映射到一个新的空间，转换为在新空间中线性可分数据来进行分类的。如果返回到原来数据的空间中，其实还是非线性分开的。但是，那为什么不直接在原数据空间中进行非线性分开，而是非要转到新的空间进行线性分开呢？首先，非线性分开比线性分开要复杂很多。线性分开只要一条直线或一个平面之类的就可以了，可以说是曲线中最简单的表现形式。而非线性分开的情况就多了去了。仅就二维空间而言，曲线、折线、双曲线、圆锥曲线、波浪线，以及毫无规律的各种其他曲线太多，没有办法进行统一的处理。即便能够针对某一个具体问题处理得到了非线性分类结果，也无法很好的推广到其他情形，这样，每针对一个具体问题就要数学家专门来建个曲线模型，太麻烦而且也没有那么多时间精力。因此，采用线性分类一是因为它简单，性质很容易研究透彻；二是因为它推广能力强，研究透了之后，其他所有问题都迎刃而解，无需建立其他模型。所以，虽然SVM多了将原始数据映射到新空间这一步骤，看起来增加了工作量，而且如何去寻找新的映射空间看着也不是很容易，但是，总体来说，研究透了之后就会比其他方法省很多力气。
2. SVM的思想是什么？
2.1 硬间隔支持向量机
SVM中最关键的思想之一就是引入和定义了“间隔”这个概念。这个概念本身很简单，以二维空间为例，就是点到分类直线之间的距离。假设直线为y=wx+b，那么只要使所有正分类点到该直线的距离与所有负分类点到该直线的距离的总和达到最大，这条直线就是最优分类直线。这样，原问题就转化为一个约束优化问题，可以直接求解。这叫做硬间隔最大化，得到的SVM模型称作硬间隔支持向量机。
2.2 软间隔支持向量机
但是新问题出现了，在实际应用中，我们得到的数据并不总是完美的线性可分的，其中可能会有个别噪声点，他们错误的被分类到了其他类中。如果将这些特异的噪点去除后，可以很容易的线性可分。但是，我们对于数据集中哪些是噪声点却是不知道的，如果以之前的方法进行求解，会无法进行线性分开。是不是就没办法了呢？假设在y=x+1直线上下分为两类，若两类中各有对方的几个噪点，在人的眼中，仍然是可以将两类分开的。这是因为在人脑中是可以容忍一定的误差的，仍然使用y=x+1直线分类，可以在最小误差的情况下进行最优的分类。同样的道理，我们在SVM中引入误差的概念，将其称作“松弛变量”。通过加入松弛变量，在原距离函数中需要加入新的松弛变量带来的误差，这样，最终的优化目标函数变成了两个部分组成：距离函数和松弛变量误差。这两个部分的重要程度并不是相等的，而是需要依据具体问题而定的，因此，我们加入权重参数C，将其与目标函数中的松弛变量误差相乘，这样，就可以通过调整C来对二者的系数进行调和。如果我们能够容忍噪声，那就把C调小，让他的权重降下来，从而变得不重要；反之，我们需要很严格的噪声小的模型，则将C调大一点，权重提升上去，变得更加重要。通过对参数C的调整，可以对模型进行控制。这叫做软间隔最大化，得到的SVM称作软间隔支持向量机。
2.3 非线性支持向量机
之前的硬间隔支持向量机和软间隔支持向量机都是解决线性可分数据集或近似线性可分数据集的问题的。但是如果噪点很多，甚至会造成数据变成了线性不可分的，那该怎么办？最常见的例子是在二维平面笛卡尔坐标系下，以原点(0,0)为圆心，以1为半径画圆，则圆内的点和圆外的点在二维空间中是肯定无法线性分开的。但是，学过初中几何就知道，对于圆圈内（含圆圈）的点：x^2+y^2≤1，圆圈外的则x^2+y^2＞1。我们假设第三个维度：z=x^2+y^2，那么在第三维空间中，可以通过z是否大于1来判断该点是否在圆内还是圆外。这样，在二维空间中线性不可分的数据在第三维空间很容易的线性可分了。这就是非线性支持向量机。
这是SVM非常重要的思想。对于在N维空间中线性不可分的数据，在N+1维以上的空间会有更大到可能变成线性可分的（但并不是一定会在N+1维上线性可分。维度越高，线性可分的可能性越大，但并不完全确保）。因此，对于线性不可分的数据，我们可以将它映射到线性可分的新空间中，之后就可以用刚才说过的硬间隔支持向量机或软间隔支持向量机来进行求解了。这样，我们将原问题变成了如何对原始数据进行映射，才能使其在新空间中线性可分。在上面的例子中，通过观察可以使用圆的方程来进行映射，但在实际数据中肯定没有这么简单。如果都可以观察出规律来，那就不需要机器来做SVM了。。
实际中，对某个实际问题函数来寻找一个合适的空间进行映射是非常困难的，幸运的是，在计算中发现，我们需要的只是两个向量在新的映射空间中的内积结果，而映射函数到底是怎么样的其实并不需要知道。这一点不太好理解，有人会问，既然不知道映射函数，那怎么能知道映射后在新空间中的内积结果呢？答案其实是可以的。这就需要引入了核函数的概念。核函数是这样的一种函数：仍然以二维空间为例，假设对于变量x和y，将其映射到新空间的映射函数为φ，则在新空间中，二者分别对应φ(x)和φ(y)，他们的内积则为<φ(x),φ(y)>。我们令函数Kernel(x,y)=<φ(x),φ(y)>=k(x,y)，可以看出，函数Kernel(x,y)是一个关于x和y的函数！而与φ无关！这是一个多么好的性质！我们再也不用管φ具体是什么映射关系了，只需要最后计算Kernel(x,y)就可以得到他们在高维空间中的内积，这样就可以直接带入之前的支持向量机中计算！真是妈妈再也不用担心我的学习了。。
得到这个令人欢欣鼓舞的函数之后，我们还需要冷静一下，问问：这个Kernel函数从哪来？他又是怎么得到的？真的可以解决所有映射到高维空间的问题吗？
这个问题我试着回答一下，如果我理解对的话。核函数不是很好找到，一般是由数学家反向推导出来或拼凑出来的。现在知道的有多项式核函数、高斯核函数、字符串核函数等。其中，高斯核函数对应的支持向量机是高斯径向基函数（RBF），是最常用的核函数。
RBF核函数可以将维度扩展到无穷维的空间，因此，理论上讲可以满足一切映射的需求。为什么会是无穷维呢？我以前都不太明白这一点。后来老师讲到，RBF对应的是泰勒级数展开，在泰勒级数中，一个函数可以分解为无穷多个项的加和，其中，每一个项可以看做是对应的一个维度，这样，原函数就可以看做是映射到了无穷维的空间中。这样，在实际应用中，RBF是相对最好的一个选择。当然，如果有研究的话，还可以选用其他核函数，可能会在某些问题上表现更好。但是，RBF是在对问题不了解的情况下，对最广泛问题效果都很不错的核函数。因此，使用范围也最广。
这样，对于线性不可分的数据，也可以通过RBF等核函数来映射到高维，甚至无穷维的空间中而变得线性可分，通过计算间隔和松弛变量等的最大化，可以对问题进行求解。当然，在求解中，还有一些数学的技巧来简化运算，例如，使用拉格朗日乘子来将原问题变换为对偶问题，可以简化计算。这些在实验中用不到，而且数学原理有点困难，就先不讲了。
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原文：http://blog.csdn.net/viewcode/article/details/12840405
SVM的文章介绍多如牛毛，很多介绍都非常详尽，而我却一点都不开窍，始终无法理解其中的奥秘。
这次，我要用自己粗浅的语言，来撩开我与SVM之间的面纱。
1. SVM是要解决什么问题？
之前，冲上来就看SVM的应用，简介，最优化计算方法等。从没认真想过SVM要解决什么问题。
下面一幅是常用的图，来解释SVM的需求。
SVM最基本的应用是分类。 求解最优的分类面，然后用于分类。
最优分类面的定义：
对于SVM，存在一个分类面，两个点集到此平面的最小距离最大，两个点集中的边缘点到此平面的距离最大。
从直观上来看，下图左边的，肯定不是最优分类面；而右边的能让人感觉到其距离更大，使用的支撑点更多，至少使用了三个分类面，应该是最优分类面。
那么，是不是一个最优分类面需要两个或三个以上的点才能确定那？
这个要依据实际情况而定。
如下图，左图是由三个点，来确定的一个最优分类面，不同类别的两个点确定一个中心点，而同类的两个点可以确定方向向量。这个最优分类面，需要三个点。
但对于右图，直接获取不同类别的两个点的垂面，即是最优分类面。这个分类面，则需要两个点。
以上，情况的分析，使得求解最优分类面的思路，模式比较复杂。
若采用穷举法，至少需要以下过程。
先取不同类别的两个点，求解中心连线的垂面。如以上右图模式
然后判断其他点到此垂面的距离，若有更小的距离（或负值，即分类错误），则选取以上左图模式。
穷举所有点。采用最直接的方式处理，则其运算复杂度为 m*n*n， 若n > m.
这个还没有用到高维映射哪，如果再加上高维映射的处理，算法恐怕就更复杂了。所以，穷举法是不太现实的。
2. 从直观到数学推论
由直观到拟合：
直观上，存在一个最优的超平面。
那么，我们就假设这个最优面的公式是：
W * X + b = 0，
那么对于所有的点集x，
都存在平行于最优超平面，的点集的边界面
W * xi + b >= 1 或 W * xi + b <= -1, 这里 yi可以归一化为1，-1
最大化这两个平行超平面的距离。即
max 2 / ||w||
或者说是 最小化w，即 min ||w||
另外一个条件是 W * xi + b >= 1 或 W * xi + b <= -1。
这个有点超出平时用的计算方法了（如果没学过最优化理论），因既有求极值，又有不等式存在。这个是典型的QP（quandratic programming）二次规划问题。
高数里面有有关求极值的理论，采用的是拉格朗日乘子法，但其条件是等式。
所以，需要将不等式，转化为等式的形式。 方法就引入变量。
给每个点配上一个系数α，若是边界点，那么α就为大于0，否则就为0.
则 αi * yi * (W * xi + b) = 0.
从另一方面来讲，αi也可以看做是拉格朗日系数，采用拉格朗日乘子法，求极值。
由于αi也是未知的。所以，又需要求出αi。
即 min ( max L )， max L 是因为后面的超平面公式经过减号后变成了 <= 形式，其求和的最大值为0。
先对min求极值, 对w，和b进行微分。
推导出以下关系
（blog没公式编辑器，想偷懒只要剪贴了）
终于推出简单点的公式了。由min 到 max 也是一个对偶转换的过程，又称dual
求max极值，并且，只有一个等式约束条件，缺点就是未知变量也增加了。
接下来，就是用最优化的方法，求取极值了。
对未知变量，取一个初始值，然后用点集中的点，一个接一个的进行训练。
直至未知变量收敛。
3. SMO 解法
SVM 从简单边界分类思路，到复杂的拉格朗日求解。
其实，对于二次规划问题，有经典的最速下降法，牛顿法等最优化求解方法。而SMO是一个SVM的优化算法，避开了经典的二次规划问题。
消除w，转换为 αi 的求解。这是一个更加有效的求解方法
利用KKT条件，再加上一堆的推论，终于有以下公式：
还是这么多公式和术语，真是令我头疼。只能先记着，后面慢慢消化。
原理理解：
αi * αj * ... 其实仍然是一个多元规划问题，所以，先多做几个假设：
1. 假设除 α1 之外，其他都是定值，那么据
∑ni=1αiyi=0， α1可以直接定下来，就无法进行优化了。
2. 若有 α1， α2是变量，其他是常量， α2可以由 α1来表示，代入到目标函数中，就形成了一个一元二次函数。这样就能轻易地求极值了。其中，还是要考虑约束条件的：
αiα
i
0 <= ai <= C. 总之，求极值是方便可行多了。
采用此方法，选取不同的 αi, αj求极值。 然后选取最大的。
SMO就是采用这种原理，只不过它不是依次或随机选取 α，而是采用启发式算法选取最优的两个维度。
John C. Platt 的那篇论文 Fast Training of Support Vector Machines Using Sequential Minimal Optimization，有原理，有伪代码可以参考。
http://blog.pluskid.org/?page_id=683
介绍的也是比较深入浅出的。
3. SVM种类有哪些，适用场景及优缺点
SVM的空间复杂度：
SVM 是所占内存，是样本数据量的平方。
《A Tutorial on Support Vector Machines for Pattern Recognition》 1998KluwerAcademicPublishers,Boston，训练计算复杂度在O(Nsv^3+LNsv^2+d*L*Nsv)和O(d*L^2)之间，其中Nsv是支持向量的个数，L是训练集样本的个数，d是每个样本的维数(原始的维数，没有经过向高维空间映射之前的维数).
总的来讲，SVM的SMO算法根据不同的应用场景，其算法复杂度为~N 到~N^2.2之间，而chunking scale的复杂度为~N^1.2 到~N^3.4之间。一般SMO比chunking算法有一阶的优势。
线性SVM比非线性SVM的smo算法要慢一些。所以，据原著论文的测试，SMO算法，在线性svm上快1000倍，在非线性上快15倍。
对于SVM的SMO算法的内存需求时线性的，这使得其能适用比较大的训练集。
所以，如果数据量很大，SVM的训练时间就会比较长，如垃圾邮件的分类检测，没有使用SVM分类器，而是使用了简单的naive bayes分类器，或者是使用逻辑回归模型分类。
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其他观点：
SVM在小样本训练集上能够得到比其它算法好很多的结果。支持向量机之所以成为目前最常用，效果最好的分类器之一，在于其优秀的泛化能力，这是是因为其本身的优化目标是结构化风险最小，而不是经验风险最小，因此，通过margin的概念，得到对数据分布的结构化描述，因此减低了对数据规模和数据分布的要求。
SVM也并不是在任何场景都比其他算法好，对于每种应用，最好尝试多种算法，然后评估结果。如SVM在邮件分类上，还不如逻辑回归、KNN、bayes的效果好。
SVM各个参数的含义？
sigma: rbf核函数的参数，用于生成高维的特征，常用的有几种核函数，如径向核函数，线性核函数，这个也需要凭经验来选择。
C：惩罚因子。在最优化函数中，对离群点的惩罚因子，也是对离群点的重视程度体现。这个也是凭经验和实验来选择。
SVM种类：
C-SVM： 分类型SVM，需要调优的参数有惩罚因子C，核函数参数。 C的取值 10^-4, 10^-3, 10^-2,... 到 1, 5... 依次变大
nu-SVM： 分类型SVM, 在一定程度上与C-SVM相同，将惩罚因子C换成了因子nu。其最优化的函数略有不同。nu的取值是0-1，一般取值从0.1到0.8. 0代表样本落入间隔内的数目最小的情况，1代表样本可以落入间隔可以很多的情况。
wiki上的原话：
The main motivation for the nu versions of SVM is that it has a has a more meaningful interpretation. This is because nu represents an upper bound on the fraction of training samples which are errors (badly predicted) and a lower bound on the fraction of samples which are support vectors. Some users feel nu is more intuitive to use than C or epsilon.
C-SVR: 用于回归的svm模型
nu-SVR：同上
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4. 其他相关概念：
VC维：将N个点进行分类，如分成两类，那么可以有2^N种分法，即可以理解成有2^N个学习问题。若存在一个假设H，能准确无误地将2^N种问题进行分类。那么这些点的数量N，就是H的VC维。 这个定义真生硬，只能先记住。一个实例就平面上3个点的线性划分的VC维是3. 而平面上 VC维不是4，是因为不存在4个样本点，能被划分成2^4 = 16种划分法，因为对角的两对点不能被线性划分为两类。更一般地，在r 维空间中，线性决策面的VC维为r+1。
置信风险： 分类器对 未知样本进行分类，得到的误差。也叫期望风险。
经验风险： 训练好的分类器，对训练样本重新分类得到的误差。即样本误差
结构风险：[置信风险， 经验风险], 如(置信风险 + 经验风险) / 2
置信风险的影响因素有： 训练样本数目和分类函数的VC维。训练样本数目，即样本越多，置信风险就可以比较小；VC维越大，问题的解的种类就越多，推广能力就越差，置信风险也就越大。因此，提高样本数，降低VC维，才能降低置信风险。
而一般的分类函数，需要提高VC维，即样本的特征数据量，来降低经验风险，如多项式分类函数。如此就会导致置信风险变高，结构风险也相应变高。过学习overfit，就是置信风险变高的缘故。
结构风险最小化SRM(structured risk minimize)就是同时考虑经验风险与结构风险。在小样本情况下，取得比较好的分类效果。保证分类精度（经验风险）的同时，降低学习机器的 VC 维，可以使学习机器在整个样本集上的期望风险得到控制，这应该就是SRM的原则。
当训练样本给定时，分类间隔越大，则对应的分类超平面集合的 VC 维就越小。（分类间隔的要求，对VC维的影响）
根据结构风险最小化原则，前者是保证经验风险（经验风险和期望风险依赖于学习机器函数族的选择）最小，而后者使分类间隔最大，导致 VC 维最小，实际上就是使推广性的界中的置信范围最小，从而达到使真实风险最小。
训练样本在线性可分的情况下，全部样本能被正确地分类（咦这个不就是传说中的yi*(w*xi+b)）>=1的条件吗），即经验风险Remp 为 0 的前提下，通过对分类间隔最大化（咦，这个就是Φ（w）＝(1/2)*w*w嘛），使分类器获得最好的推广性能。
对于线性不可分的状况，可以允许错分。即对于离群点降低分类间隔。将距离原来的分类面越远，离群就越严重，这个距离，可以用一个值--松弛变量来表示，只有离群点才有松弛变量。当然，要对这个值加以限制，即在最小化函数里，加入一个惩罚项，里面还有一个可以人为设定的惩罚项C。当C无限的大，那么就退化为硬间隔问题，不允许有离群点，问题可能无解。若C=0，无视离群点。有时C值需要多次尝试，获取一个较好的值。 这个里面可分析还很多，后面再学习。
核函数作用：将完全不可分问题，转换为可分或达到近似可分的状态。
松弛变量：解决近似可分的问题。
