图论（最短路问题）总结

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图论（最短路）总结　　

　关于图论最短路，是联赛常考的考点，需要熟悉掌握，下面总结一下关于最短路的算法。　　

　 算法一:弗洛伊德（floyd）算法

　　这个算法主要是用于求每对顶点（任意两点间的最短路）。是一个非常暴力的算法。

　  1.原理：

　　根据图的传递闭包思想：

if(d[i][k]+d[j][k])<d[i][j])
    d[i][j]=d[i][k]+d[k][j]

　　即每次找一个“中转站K”，如果d[i][k]+d[j][k])<d[i][j],则更新d[i][j].即更新i到j之间的距离。

　　2.初始化条件：

　　d[i][i]=0；//自己到自己的距离为0；

　　d[i][j]=边权；//i与j有直接相连的边。

　　d[i][j]=正无穷；//i与j没有直接相连的边。

　　3.算法核心：

1 for(int k=1;k<=n;k++)
2         for(int i=1;i<=n;i++)
3             for(int j=1;j<=n;j++){
4                 if(a[i][k]+a[k][j]<a[i][j]){
5                     a[i][j]=a[i][k]+a[k][j];
6                 }
7             }

　　稳定时间复杂度O(n^3).效率比较低下，一般只在“走投无路”时取得部分分时使用。

　　4.探究:

　　可定义path[i][j]记录i到j的最短路径中j的前驱顶点，可用于输出最小路径.

　　初始化：i到j有边，则path[i][j]=i；path[j][i]=j；

　　　　　　i到j不连通,则path[i][j]=-1；

　　核心：

1 for(int k=1;k<=n;k++)
2          for(int i=1;i<=n;i++)
3              for(int j=1;j<=n;j++){
4                  if(a[i][k]+a[k][j]<a[i][j]){
5                      a[i][j]=a[i][k]+a[k][j];
6                      path[i][j]=path[k][j];
7                  }
8              }

　　算法二:迪杰斯特拉(dijkstra)算法

　 用于求一个顶点到其他顶点的最短路径（单源最短路径）.应用的是贪心的理念，

　　目标：图中一个顶点到其他顶点的最短路径，不能有负权。————单源，非负。

　　原理：经严格证明的贪心。

　　时间复杂度：O(n^2)

　　[分析] 开始点（源点）：start

　　步骤：

　　1.用集合1表示已知点，用集合2表示未求点。则1中最初只有start这个点，集合2中有其他n-1个点。

　　2.在集合2中找到一个到start距离最近的顶点k，距离=d[k]；

　　3.把顶点k加到集合1中，同时修改集合2中的剩余顶点j的d[j]是否经过k后变短，如果变短修改d[j]；

　　　　if(d[k]+a[k][j])  d[j] = d[k]+d[k][j]；

　　4.重复1，直到集合2为空为止.

　　伪代码如下：

 1 for(int i=1;i<=t;i++)
 2         dis[i]=a[st][i];
 3     vis[st]=1;dis[st]=0;
 4     for(int i=1;i)
 5     {
 6         int minn=9999999;
 7         int k=0;
 8         for(int j=1;j<=t;j++)
 9             if(!(vis[j])&&(dis[j]<minn))
10             {
11                 minn=dis[j];
12                 k=j;
13             }
14         if(k==0) break ;
15         vis[k]=1;
16         for(int j=1;j<=t;j++)
17             if(!(vis[j])&&(dis[k]+a[k][j]<dis[j]))
18                 dis[j]=dis[k]+a[k][j]; 
19     }

　　讨论一：怎样输出路径？

　　st：起点；　　t：终点；　　path[i]：i的前驱顶点；　　way:从s到t的结点路径　　

　　注意：迪杰斯特拉算法不能有负权！

　　附：迪杰斯特拉算法还有一个堆优化，但是无法有负权边，联赛常用SPFA算法,性价比高，但是时间复杂度不确定，后文描述.

　　算法三:Bellman——ford算法

　　我们知道，如果边有负权的话，Dijkstra算法是错误的。

　　那么，我们如何判断负环呢？

　　Bellman——ford 算法N次迭代就可以判断图中是否有“负环”。

　　它取两种边有两种方法：

　　——扫描每一点的邻接表。

　　——用有序点对（x, y）记录边时，可直接取边。但要注意对无向边，要注意（y , x）也要松弛.

　　　　对于求s到某点的最短距离，可能因为其它地方有“负环”而出现问题，要预处理。

　　时间复杂度：O（N*E）

　　步骤：1.初始化每点到s点的距离为正无穷。

　　　　　2.取所有边（x, y），看x能否对y松弛.

　　　　　3.如果没有任何松弛，则结束break.

　　　　　4.如果松弛次数

　　　　　5.如果第n次还能松弛,图中有“负环”.

　　伪代码略（不常用,一般用队列优化的SPFA）。

　　算法四：SPFA(对

转载于:https://www.cnblogs.com/smilke/p/10694952.html