数学建模规划模型（转）

线性规划的定义： 求一组变量的值，在满足一组约束条件下，求得目标函数的最优解。

根据这个定义，就可以确定线性规划模型的基本结构。

（1）变量  变量又叫未知数，它是实际系统的未知因素，也是决策系统中的可控因素，一般称为决策变量，常引用英文字母加下标来表示，如Xl，X2，X3，Xmn等。

（2）目标函数  将实际系统的目标，用数学形式表现出来，就称为目标函数，线性规划的目标函数是求系统目标的数值，即极大值，如产值极大值、利润极大值或者极小值，如成本极小值、费用极小值、损耗极小值等等。

（3）约束条件  约束条件是指实现系统目标的限制因素。它涉及到企业内部条件和外部环境的各个方面，如原材料供应、设备能力、计划指标、产品质量要求和市场销售状态等等，这些因素都对模型的变量起约束作用，故称其为约束条件。

约束条件的数学表示形式为三种，即≥、＝、≤。线性规划的变量应为正值，因为变量在实际问题中所代表的均为实物，所以不能为负。在经济管理中，线性规划使用较多的是下述几个方面的问题：

(1) 投资问题—确定有限投资额的最优分配，使得收益最大或者见效快。

(2) 计划安排问题—确定生产的品种和数量，使得产值或利润最大，如资源配制问题。

(3) 任务分配问题—分配不同的工作给各个对象(劳动力或机床)，使产量最多、效率最高，如生产安排问题。

(4) 下料问题—如何下料，使得边角料损失最小。

(5) 运输问题—在物资调运过程中，确定最经济的调运方案。

(6) 库存问题—如何确定最佳库存量，做到即保证生产又节约资金等等。

应用线性规划建立数学模型的三步骤：

(1) 明确问题，确定问题，列出约束条件。

(2) 收集资料，建立模型。

(3) 模型求解(最优解)，进行优化后分析。

实例：

例1  某工厂甲、乙两种产品，每件甲产品要耗钢材2kg、煤2kg、产值为120元；每件乙产品要耗钢材3kg，煤1kg，产值为100元。现钢厂有钢材600kg，煤400kg，试确定甲、乙两种产品各生产多少件，才能使该厂的总产值最大？

解  设甲、乙两种产品的产量分别为X1、X2，则总产值是X1 、X2的函数

f(X1，X2)＝120X1＋100X2

资源的多少是约束条件：

由于钢的限制，应满足2X1＋3X2≤600；由于煤的限制，应满足2X1＋X2≤400。

综合上述表达式，得数学模型为

求最大值（目标函数）：f(X1，X2)＝120X1＋100X2

2X1＋3X2≤600

2X1＋X2≤400

X1≥0，X2≥0

Xl，X2为决策变量，解得Xl≤150件，X2≤100件

fmax＝(120 ×150＋100×100)元＝28000元

故当甲产品生产150件、乙产品生产100件时，产值最大，为28000元。

例2  某工厂在计划期内要安排甲、乙两种产品。这些产品分别需要在A、B、C、D四种不同设备上加工。按工艺规定，产品甲和乙在各设备上所需加工台数列表于表1-1中。已知设备在计划期内的有效台时数分别是12、8、16和12(一台设备工作lh称为一台时)，该工厂每生产一件甲产品可得利润20元，每生产一件乙产品可得利润30元。问应如何安排生产计划，才能得到最多利润？

解  l) 建立数学模型

设  X1 、X2分别表示甲、乙产品的产量，则利润是f（X1，X2）=20 X1＋30 X2，求最大值。

设备的有效利用台时为约束条件：

A：2 X1＋2 X2≤12

B：X1＋2 X2≤8

C：4 X1≤16

D：4 X2≤12

X1≥0，X2≥0

2）求解未知数

X1≤4、X2≤3，但由式（l）、式（2）得X1≤4、X2≤2，所以取X1≤4、X2≤2 故

fmax＝(20×4＋30×2)元＝140元

3）结论：在计划期内，安排生产甲产品4件、乙产品2件，可得到最多的利润(140元)。