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格拉姆－施密特正交化Gram-Schimidt

格拉姆－施密特正交化

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线性代数
\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}
矢量 · 矩阵 · 行列式 · 线性空间
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在线性代数中，如果内积空间上的一组矢量能够张成一个子空间，那么这一组矢量就称为这个子空间的一个基。Gram－Schmidt正交化提供了一种方法，能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个正交基，并可进一步求出对应的标准正交基。

这种正交化方法以Jørgen Pedersen Gram和Erhard Schmidt命名，然而比他们更早的拉普拉斯（Laplace）和柯西（Cauchy）已经发现了这一方法。在李群分解中，这种方法被推广为岩泽分解（Iwasawa decomposition）。

在数值计算中，Gram－Schmidt正交化是数值不稳定的，计算中累积的舍入误差会使最终结果的正交性变得很差。因此在实际应用中通常使用豪斯霍尔德变换或Givens旋转进行正交化。

目录

[隐藏]
  • 1 记法
  • 2 基本思想
  • 3 算法
  • 4 不同的形式
  • 5 参见

[编辑] 记法

  • \boldsymbol{V}^n：维数为n 的内积空间
  • \boldsymbol{v} \in \boldsymbol{V}^n：\boldsymbol{V}^n中的元素，可以是矢量、函数，等等
  • \langle \boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2 \rangle：\boldsymbol{v}_1与\boldsymbol{v}_2的内积
  • \mathrm{span} \{ \boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\ldots , \boldsymbol{v}_n \}：\boldsymbol{v}_1、\boldsymbol{v}_2……\boldsymbol{v}_n张成的子空间
  • \mathrm{proj}_{\boldsymbol{v}}\,\boldsymbol{u} = {\langle \boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}\rangle\over\langle \boldsymbol{v}, \boldsymbol{v}\rangle}\boldsymbol{v}：\boldsymbol{u}在\boldsymbol{v}上的投影

[编辑] 基本思想

图1 \boldsymbol{v}在 \boldsymbol{V}^2上投影，构造 \boldsymbol{V}^3上的正交基 \boldsymbol{\beta}

Gram-Schmidt正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。

设\boldsymbol{v} \in \boldsymbol{V^n}。\boldsymbol{V}^k是\boldsymbol{V}^n上的k维子空间，其标准正交基为，且\boldsymbol{v}不在\boldsymbol{V}^k上。由投影原理知，\boldsymbol{v}与其在\boldsymbol{V}^k上的投影\mathrm{proj}_{\boldsymbol{V^k}} \boldsymbol{v}之差

\boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{v} - \sum_{i=1}^{k}\mathrm{proj}_{\boldsymbol{\eta}_i}\,\boldsymbol{v} = \boldsymbol{v} - \sum_{i=1}^{k}\langle \boldsymbol{v}, \boldsymbol{\eta}_i \rangle \boldsymbol{\eta}_i


是正交于子空间\boldsymbol{V}^k的，亦即\boldsymbol{\beta}正交于\boldsymbol{V}^k的正交基\boldsymbol{\eta}_i。因此只要将\boldsymbol{\beta}单位化，即

\boldsymbol{\eta}_{k+1} = \frac{\boldsymbol{\beta}}{\|\boldsymbol{\beta}\|} = \frac{\boldsymbol{\beta}}{\sqrt{\langle \boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\beta} \rangle }}

那么就是\boldsymbol{V}^k在\boldsymbol{v}上扩展的子空间\mathrm{span}\{\boldsymbol{v},\boldsymbol{\eta}_1,...,\boldsymbol{\eta}_k\}的标准正交基。

根据上述分析，对于矢量组\{ \boldsymbol{v}_1,\ldots, \boldsymbol{v}_{m} \}张成的空间\boldsymbol{V}^m (m<n)，只要从其中一个矢量（不妨设为\boldsymbol{v}_1）所张成的一维子空间\mathrm{span}\{\boldsymbol{v}_1\}开始（注意到\boldsymbol{v}_1就是\mathrm{span}\{\boldsymbol{v}_1\}的正交基），重复上述扩展构造正交基的过程，就能够得到\boldsymbol{V}^n 的一组正交基。这就是Gram-Schmidt正交化。

[编辑] 算法

首先需要确定已有基底矢量的顺序，不妨设为\{ \boldsymbol{v}_1,\ldots, \boldsymbol{v}_{n} \}。Gram-Schmidt正交化的过程如下：

  \boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{v}_1,   \boldsymbol{\eta}_1 = {\boldsymbol{\beta}_1 \over \|\boldsymbol{\beta}_1\|}
  \boldsymbol{\beta}_2 = \boldsymbol{v}_2-\langle \boldsymbol{v}_2, \boldsymbol{\eta}_1 \rangle \boldsymbol{\eta}_1,   \boldsymbol{\eta}_2 = {\boldsymbol{\beta}_2 \over \|\boldsymbol{\beta}_2\|}
  \boldsymbol{\beta}_3 = \boldsymbol{v}_3 - \langle \boldsymbol{v}_3, \boldsymbol{\eta}_1 \rangle \boldsymbol{\eta}_1 - \langle \boldsymbol{v}_3, \boldsymbol{\eta}_2 \rangle \boldsymbol{\eta}_2 ,   \boldsymbol{\eta}_3 = {\boldsymbol{\beta}_3 \over \|\boldsymbol{\beta}_3\|}
  \vdots   \vdots
  \boldsymbol{\beta}_n = \boldsymbol{v}_n-\sum_{i=1}^{n-1}\langle \boldsymbol{v}_n, \boldsymbol{\eta}_i \rangle \boldsymbol{\eta}_i,   \boldsymbol{\eta}_n = {\boldsymbol{\beta}_n\over\|\boldsymbol{\beta}_n\|}

这样就得到\mathrm{span}\{ \boldsymbol{v}_1, \ldots , \boldsymbol{v}_n \}上的一组正交基\{ \boldsymbol{\beta}_1, \ldots , \boldsymbol{\beta}_n \}，以及相应的标准正交基\{ \boldsymbol{\eta}_1, \ldots , \boldsymbol{\eta}_n \}。


例

考察如下欧几里得空间Rn中矢量的集合，欧氏空间上内积的定义为<a, b> = bTa：

S = \lbrace\boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix} 3 \\ 1\end{pmatrix}, \boldsymbol{v}_2=\begin{pmatrix}2 \\2\end{pmatrix}\rbrace.

下面作Gram－Schmidt正交化，以得到一组正交矢量：

\boldsymbol{\beta}_1=\boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}
\boldsymbol{\beta}_2=\boldsymbol{v}_2-\mathrm{proj}_{\boldsymbol{\beta}_1}\,\boldsymbol{v}_2=\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}-\mathrm{proj}_{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}=\begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix}

下面验证矢量\boldsymbol{\beta}_1与\boldsymbol{\beta}_1的正交性：

\langle\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2\rangle = \left\langle \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix} \right\rangle = -\frac65 + \frac65 = 0.

将这些矢量单位化：

\boldsymbol{\eta}_1 = {1 \over \sqrt {10}}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}
\boldsymbol{\eta}_2 = {1 \over \sqrt {8 \over 5}}\begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix}

于是\{ \boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_{2} \}就是 \mathrm{span}\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2 \} 的一组标准正交基底。

[编辑] 不同的形式

随着内积空间上内积的定义以及构成内积空间的元素的不同，Gram-Schmidt正交化也表现出不同的形式。

例如，在实矢量空间上，内积定义为：

\langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle = \boldsymbol{b}^T \boldsymbol{a}

在复矢量空间上，内积定义为：

\langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle = \boldsymbol{b}^H \boldsymbol{a}

函数之间的内积则定义为：

\langle f(x), g(x) \rangle = \int_{-\infty}^{\infty}f(x)g^*(x) dx

与之对应，相应的Gram－Schmidt正交化就具有不同的形式。

[编辑] 参见

  • 内积空间
  • 内积
  • 正交
  • QR分解
来自“ http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E6%A0%BC%E6%8B%89%E5%A7%86%EF%BC%8D%E6%96%BD%E5%AF%86%E7%89%B9%E6%AD%A3%E4%BA%A4%E5%8C%96&oldid=18778212”

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