格拉姆-施密特正交化
线性代数 | ||||||
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矢量 · 矩阵 · 行列式 · 线性空间
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在线性代数中,如果内积空间上的一组矢量能够张成一个子空间,那么这一组矢量就称为这个子空间的一个基。Gram-Schmidt正交化提供了一种方法,能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个正交基,并可进一步求出对应的标准正交基。
这种正交化方法以Jørgen Pedersen Gram和Erhard Schmidt命名,然而比他们更早的拉普拉斯(Laplace)和柯西(Cauchy)已经发现了这一方法。在李群分解中,这种方法被推广为岩泽分解(Iwasawa decomposition)。
在数值计算中,Gram-Schmidt正交化是数值不稳定的,计算中累积的舍入误差会使最终结果的正交性变得很差。因此在实际应用中通常使用豪斯霍尔德变换或Givens旋转进行正交化。
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Gram-Schmidt正交化的基本想法,是利用投影原理在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。
设。是上的维子空间,其标准正交基为,且不在上。由投影原理知,与其在上的投影之差
是正交于子空间的,亦即正交于的正交基。因此只要将单位化,即
那么就是在上扩展的子空间的标准正交基。
根据上述分析,对于矢量组张成的空间 (),只要从其中一个矢量(不妨设为)所张成的一维子空间开始(注意到就是的正交基),重复上述扩展构造正交基的过程,就能够得到 的一组正交基。这就是Gram-Schmidt正交化。
首先需要确定已有基底矢量的顺序,不妨设为。Gram-Schmidt正交化的过程如下:
这样就得到上的一组正交基,以及相应的标准正交基。
考察如下欧几里得空间Rn中矢量的集合,欧氏空间上内积的定义为<a, b> = bTa:
下面作Gram-Schmidt正交化,以得到一组正交矢量:
下面验证矢量与的正交性:
将这些矢量单位化:
于是就是 的一组标准正交基底。
随着内积空间上内积的定义以及构成内积空间的元素的不同,Gram-Schmidt正交化也表现出不同的形式。
例如,在实矢量空间上,内积定义为:
在复矢量空间上,内积定义为:
函数之间的内积则定义为:
与之对应,相应的Gram-Schmidt正交化就具有不同的形式。