图论(一) 图的基本概念
一、一些基本概念
平凡图：只有一个顶点的图
空图：边集为空的图
图同构的几个必要条件：
- 顶点数相同
- 边数相同
- 关联边数相同的顶点个数相同
二、完全图、偶图、补图
完全图：每两个顶点间都有一条边的简单图
- n个顶点的完全图即为 K n K_n Kn，称为n阶完全图
- 完全图边数 m ( K n ) = n ( n − 1 ) 2 m(K_n)=\frac{n(n-1)}{2} m(Kn)=2n(n−1)
偶图：也叫二分图，二部图。具有二分类(X,Y)的偶图，它的点集可以分解为两个非空子集X和Y，使得每一条边的一个端点在X中，另一个端点在Y中，记为G=(X, Y)。
- 1、 完全偶图：若|X|=m,|Y|=n，其中X中顶点和Y中每个顶点都连接，则这样的偶图记为 K m , n K_{m,n} Km,n
- 2、反应两个不同团体或集合间关系即为偶图
- 3、二分图的判定和匹配问题（以后更新）
补图：对于图G=(V, E)，令集合 E 1 = { u v ∣ u ≠ v , u , v ∈ V } E_1=\{uv|u≠v, u,v∈V\} E1={uv∣u̸=v,u,v∈V}，则 H = ( V , E 1 − E ) H=(V, E_1-E) H=(V,E1−E)为G的补图。记为 H = G ‾ H=\overline{G} H=G。H+G即为完全图。
- 1、 k 1 k_1 k1补图为自身； k 2 k_2 k2补图为两个点
- 2、完全图的补图都是全顶点，即为空图
- 3、边关系满足 m ( G ) + m ( G ‾ ) = C n 2 = n ( n − 1 ) 2 m(G)+m(\overline{G}) = C_n^2 =\frac{n(n-1)}{2} m(G)+m(G)=Cn2=2n(n−1)
- 4、若G与其补图同构，则称G为自补图
- 5、若n阶图是自补图，则顶点数满足 n = 0 , 1 ( m o d 4 ) n=0,1(mod 4) n=0,1(mod4)
若G为自补图，顶点数为n，则 m ( G ) + m ( G ‾ ) = n ( n − 1 ) 2 m(G)+m(\overline{G}) = \frac{n(n-1)}{2} m(G)+m(G)=2n(n−1)所以： m ( G ) = n ( n − 1 ) 4 m(G) = \frac{n(n-1)}{4} m(G)=4n(n−1)。故m(G)能被4整除，因此n为4的倍数或者(n-1)的倍数，故 n ( m o d 4 ) = 0 o r 1 n (mod 4)=0 or 1 n(mod4)=0or1
小知识：8阶图的自补图有10个
三、顶点的度和图的度序列,频序列
1、顶点的度和性质
定义：G的顶点v的度数记为d(v)，指G中与v关联的边的数目，每个环计两次。分别用 δ ( G ) \delta (G) δ(G)和 Δ ( G ) \Delta (G) Δ(G)表示G的最小度和最大度。奇数度的顶点称为奇点，反之为偶点。设G=(V,E)，若所有点顶点度数均为k，则G称为k-正则图。
- 1、对于完全图 k 1 k_1 k1，d(v)=0
- 2、欧拉定理（握手定理）：图的顶点度数和为边数m的两倍，即 ∑ v ∈ V ( G ) d ( v ) = 2 m \sum_{v∈V(G)} d(v)=2m ∑v∈V(G)d(v)=2m
- 3、证明：在任何图中，奇点个数为偶数。
设 V 1 , V 2 V_1, V_2 V1,V2分别为G中奇点集和偶点集，则由握手定理可得：
∑ v ∈ V 1 d ( v ) + ∑ v ∈ V 2 d ( v ) = ∑ v ∈ V d ( v ) = 2 m \sum_{v∈V_1}d(v)+\sum_{v∈V_2}d(v)=\sum_{v∈V}d(v)=2m v∈V1∑d(v)+v∈V2∑d(v)=v∈V∑d(v)=2m由于 ∑ v ∈ V d ( v ) = 2 m \sum_{v∈V}d(v)=2m ∑v∈Vd(v)=2m是偶数， ∑ v ∈ V 2 d ( v ) \sum_{v∈V_2}d(v) ∑v∈V2d(v)是偶数，
故 ∑ v ∈ V 1 d ( v ) \sum_{v∈V_1}d(v) ∑v∈V1d(v)只能是偶数，故而奇点数为偶数。 - 4、正则图的阶数和度数 不同时 为奇数（如果都是奇数了，奇数相乘还是奇数，就违背了握手定理）
- 5、证明： δ ( G ) ≤ 2 m n ≤ Δ ( G ) \delta (G) \le \frac{2m}{n} \le \Delta (G) δ(G)≤n2m≤Δ(G)
由握手定理有 n δ ( G ) ≤ ∑ v ∈ V d ( v ) = 2 m ≤ n Δ ( G ) n\delta (G) \le \sum_{v∈V}d(v)=2m \le n\Delta (G) nδ(G)≤∑v∈Vd(v)=2m≤nΔ(G),所以 δ ( G ) ≤ 2 m n ≤ Δ ( G ) \delta (G) \le \frac{2m}{n} \le \Delta (G) δ(G)≤n2m≤Δ(G)
2、图的度序列
定义：一个图的各个顶点度构成的非零数组 ( d 1 , d 2 , ⋯ , d n ) (d_1, d_2, \cdots, d_n) (d1,d2,⋯,dn)即为图的度序列。简单图的度序列也成为图序列。
- 1、一张图有唯一度序列，但任意一个度序列不一定能构成图，也不一定只有一张图。
- 2、非负数组 ( d 1 , d 2 , ⋯ , d n ) (d_1, d_2, \cdots, d_n) (d1,d2,⋯,dn)能构成图的充要条件是 ∑ d i \sum d_i ∑di为偶数（可以有重边，环）。
- 3、非负数组 { π = ( d 1 , d 2 , ⋯ , d n ) , d 1 ≥ d 2 ≥ ⋯ d n , ∑ d i = 2 m } \{\pi= (d_1, d_2, \cdots, d_n), d_1 \ge d_2 \ge \cdots d_n, \sum d_i=2m\} {π=(d1,d2,⋯,dn),d1≥d2≥⋯dn,∑di=2m}是图序列(简单图)的充要条件是 { π = ( d 2 − 1 , d 3 − 1 , ⋯ , d d 1 + 1 − 1 , d d 1 + 2 , ⋯ , d n ) } \{\pi =(d_2-1, d_3-1, \cdots, d_{d_1+1}-1, d_{d_1+2}, \cdots, d_n )\} {π=(d2−1,d3−1,⋯,dd1+1−1,dd1+2,⋯,dn)}是图序列。
- 4、一个简单图G的n个点的度不能互不相同。
3、图的频序列
度数为k的点数组成的序列。例如 π = ( 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 2 , 2 ) \pi=(6,5,4,3,2,2,2) π=(6,5,4,3,2,2,2)，则频序列 f = ( 1 , 1 , 1 , 1 , 3 ) f=(1,1,1,1,3) f=(1,1,1,1,3)。频序列即为度的分布情况。 ∑ i ( f i ) = n \sum_i(f_i)=n ∑i(fi)=n。随机图度数服从泊松分布，无标图服从幂律分布。
- 一个简单图的频序列和其补图的频序列相同