通信网第二章（二）——端间的最短径（D算法、BF算法、F算法）

Dijkstra算法——点对多点

Bellman-Ford算法——点对多点

Floyd-Warshall算法——多点对多点

 

D算法

D算法把端集分为两组，一组称为置定端集Gp，另一组称为未置定端集G-Gp。

每端都逐步给予一个标值。

对于置定端，标值是vs到该端的最短径的长度；

对于未置定端，所标的值是暂时的，随着算法的进展而调整。

 

D算法的适用范围

D算法对有向图也适用

也可适用于端点有权的情况

D算法不适用于边的权有正有负的情况

 

BF算法

Bellman-Ford算法能在更普遍的情况下（存在负权边）解决单源点最短路径问题。对于给定的带权（有向或无向）图 G=（V,E），其源点为s，加权函数 w是 边集 E 的映射。对图G运行Bellman-Ford算法的结果是一个布尔值，表明图中是否存在着一个从源点s可达的负权回路。若不存在这样的回路，算法将给出从源点s到 图G的任意顶点v的最短路径d(vs,vj)=min{d(vs,vi)+wij}

判断：如果存在从源点可达的权为负的回路，就无法收敛，不满足公式 d（v） < d (u) + w(u,v)。

Bellman-Ford算法的迭代松弛操作，实际上就是按顶点距离s的层次，逐层生成这棵最短路径树的过程。

 

B-F算法的运算量

设有N个节点， B-F算法最多循环N次；每次循环处理N-1个节点；对每个节点求最小路径，有N-1种选择；

最坏情况下计算量为N的立方，表示为O(N的立方)

 

F算法

弗洛埃德（Floyd）算法，简称F算法。

F算法与D算法原理是一样的，只是用矩阵形式来表达，并进行系统化的计算。

对于n个端，已给边长dij的图，顺序计算各个n×n的W阵和R阵，前者代表径长，后者代表转接路由。

 

F算法步骤如下：

F0：

文字描述：定义径长矩阵与转接路由矩阵

                 径长矩阵：有边就为端点之间距离  无边就为无穷大  端点为本身就为0

                 转接路由矩阵：如果径长矩阵有边，r就为j   

 

F1：已得W(k-1)和R(k-1)，求W(k)和R(k)

文字描述：

从第1个端点到最后一个端点依次作为两两端点中间端点，求径长及转接路由

规则：

径长矩阵：比较之前矩阵与现在加了端点后的矩阵，取小值（我们可以看着矩阵来进行计算）

转接路由：如果加了端点后的径长与之前相同，那r就取r（k-1）矩阵j列

                  如果加了端点后的径长小于之前的，就取之前r（k-1）矩阵k列

F2：k

我们可以通过矩阵找两个端点之间的最小路径

 

评价：

1D算法与P算法很相近，都是分为置定端集与未置顶端集，来进行计算，只是D算法求最短经相比P算法求最短主树多了更新这个操作

2F算法，就是n行n列不断更新相加，来找最短径，注意最开始径长与转接路由设定：两个端没相邻，前者为∞，后者为0；重合的话两者都为0，即斜线为0