线性代数导论17——正交矩阵和Gram-Schmidt正交化

本文是Gilbert Strang的线性代数导论课程笔记。课程地址: http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html  
第十七课时:正交矩阵和Gram-Schmidt正交化
这是关于正交性最后一讲,已经知道正交空间,比如行空间和零空间,今天主要看正交基和正交矩阵

一组基里的向量,任意q都和其他q正交,两两垂直,内积为零,且qi不和自己正交,qi的长度为1,这样的向量组叫标准正交基

把如上的 这些标准正交的向量作为矩阵Q的列,那么QTQ=I为单位矩阵
只有当Q是一个方阵时,Q各列向量相互垂直且长度为1,Q叫正交矩阵
如果Q是方阵,然后 QTQ=I,那么QT=Q-1,正交矩阵很容易得到,比如单位阵,或交换单位阵的列向量的位置也可。
   
举几个正交矩阵的例子:
如上图,那样构造的正交矩阵( 阿德玛矩阵:是一种只有1和-1的正交矩阵)可以是2维,4维,16维,64维,究竟哪些维数的正交阵可以由1和-1们构成?

设Q是标准正交列向量的矩阵。现在要投影到列空间,那么投影到列空间的投影矩阵是什么?投影矩阵P=Q(QTQ)-1QT,因为空间Q有标准正交基,那投影到列空间时,有P=QQT,即:
P=Q(Q TQ) -1Q T=Q(I) -1Q T=QQ T
P是对称的,而且(QQ T)(QQ T)=QQ T
且当Q是方阵时,P=QQT=I,因为Q是方阵,且各列线性无关,那么Q的列空间就是整个空间,投影到整个空间里的投影矩阵就是I。
对于投影方程:ATAx’=ATb,如果A是标准正交基Q,那么可得到:x’=QTb。那么x'的分向量:xi'=qiTb,即第i个基方向上的投影就等于qiTb

格拉姆-施密特正交化
格拉姆-施密特正交化的目标是让列向量线性无关的矩阵正交化(向量垂直且长度为1)。(就像消元法的目标是将矩阵变成三角矩阵)
已知相互无关的向量a,b,目标要将a,b变成相互正交且长度为1的q1,q2,可将向量a固定,然后b投影到a上,误差e=B,那么基本步骤如下:可验证 A T B=0
可得到格拉姆-施密特公式:
假设有三个向量呢,a,b,c,正交化得到A,B,C。可由上已知了A和B,求得C:

一个例子,已知两个向量a,b,求格拉姆-施密特标准正交基Q,Q的列空间和原来的矩阵列空间是一样的。
假设原来的矩阵A(a1,a2),向量a1,a2线性无关,通过格拉姆-施密特标准正交化得到Q(q1,q2),A与Q的列空间相同,就像消元法A=LU一样,存在一个矩阵R,满足公式如下: 这就是格拉姆-施密特表达式。
A=QR  ,R是一个上三角矩阵。
也就是说一个由线性无关的向量组成的矩阵A,与格拉姆-施密特标准正交化矩阵Q的关系是一个上三角矩阵R。
由A和Q得到R很方便(也可参照文章上面有句话: 对于投影方程:ATAx’=ATb,如果A是标准正交基Q,那么可得到:x’= QTb。那么x'的分向量:xi'=qiTb,即第i个基方向上的投影就等于qiTb),A=QR, Q TA=R。由于左下角元素q2 Ta1相互垂直,所以相乘为0,R是一个上三角矩阵。


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