【MATLAB】用地图表白：绘制Bonne投影下的世界地图
昨天是情人节（本来是昨天写的，发出来已经零点之后了）. 我们用世界地图来表白. 先放出最后成果：
那我们就来看一下用MATLAB绘制Bonne投影下绘制世界地图的方法.
基本思路
利用所谓“矢量数据结构”. 地球表面上任何一点都有一组经纬坐标与之对应. 对于世界海岸线，从中选取若干个点，获取它们的经纬坐标，再对这些坐标作地图投影变换，把变换后的点画在纸（或者电脑屏幕）上，依次连接起来，最后添加经纬线、对地图做些修饰就完成了.
具体实现步骤如下：
Step1: 加载世界海岸线数据
MATLAB的地图工具箱中预置了世界海岸线数据，只要load一下就可以了：
load coast
在工作区中看到了名为【lat】和【long】的两个长度为9865的向量：
这就是前面提到的“若干个点”的经纬坐标，单位是“度”，负值表示“西经”或“南纬”，正值表示“东经”或“北纬”.
拿到世界海岸线数据后非常高兴，迫不及待地想画出来试试，于是plot一下看看效果：
plot(long, lat)
就能得到：
已经有了世界地图的样子. 这里对原始经纬坐标“没有作任何变换”，实际上是画出了【等距圆柱投影】下的世界地图.
现在我们仔细观察一下刚才画的地图，画出东经180°经线（图中红线）：
发现俄罗斯远东地区延伸到180°经线以东去了. 从经度向量中提取大于180的值：
boole = long > 180;
fareast = long(boole)
可以看到43个满足要求的数值，原始数据确实如此.
直接使用地图工具箱中自带的海岸线数据未尝不可，（至少保证了大陆的完整性）；但我们想到最后成图中出来的这小点不太美观，考虑把经度大于180的数值转成西经.
如果直接：
arr = find(boole);
for i = arr
long(i) = long(i) – 360;
end
就会得到意想不到的结果（其实也能想到会发生什么）：
这样做将导致原本跨越180°经线两侧的相邻点位于整张图的左右两侧（且仍相邻），最后将各点依次连线时就直接从左连到右……
换个办法. 在跨越180°经线的两相邻点之间分别插入±180，并在±180之间插入NaN，连线连到NaN处中断（对纬度也作类似操作，插入点的纬度取两边的加权平均值），就没有问题了：
i = 1; len = length(long);
while i < len
if long(i) <= 180 & long(i + 1) > 180
lat0 = (lat(i) * (long(i + 1) - 180) + lat(i + 1) * (180 - long(i))) / (long(i + 1) - long(i));
for j = len:-1:(i + 1)
long(j + 3) = long(j); lat(j + 3) = lat(j);
end
long(i + 2) = NaN; lat(i + 2) = NaN;
long(i + 1) = 180; lat(i + 1) = lat0;
long(i + 3) = -180; lat(i + 3) = lat0;
len = len + 3; i = i + 3;
else if long(i) > 180 & long(i + 1) <= 180
lat0 = (lat(i) * (long(i + 1) - 180) + lat(i + 1) * (180 - long(i))) / (long(i + 1) - long(i));
for j = len:-1:(i + 1)
long(j + 3) = long(j); lat(j + 3) = lat(j);
end
long(i + 2) = NaN; lat(i + 2) = NaN;
long(i + 1) = -180; lat(i + 1) = lat0;
long(i + 3) = 180; lat(i + 3) = lat0;
len = len + 3; i = i + 3;
end
end
i = i + 1;
end
for i = 1:len
if long(i) > 180
long(i) = long(i) - 360;
end
end
再画图看一下（其中红线为东西180°经线，问题解决）：
这里得到的长度为9877的新向量【lat】和【long】是我们想要的，并且以后可能也会使用，不妨保存一下便于今后直接读取：
save coast1 long lat
这样第一步操作就完成了.
Step2: 根据投影公式对海岸线数据作变换，并画出图形
实际上MATLAB的地图工具箱中预设了很多种投影方法（当然包括今天要画的Bonne投影），执行以下操作，貌似今天的任务就完成了（并且还给陆地区域上了绿色）：
load coast
axesm bonne
patchm(lat, long, ‘g’)
运行一下，就是这样：
直接用别人预置好的函数画图没什么意思，我们还是来看一下Bonne投影的投影公式：1
Bonne投影是一类【等积伪圆锥投影】（非地学类专业，搞太不懂的就直接忽略这一段）. 记（正轴）圆锥面与地球面的切线（标准纬线）的纬度为 φ 0 \varphi_0 φ0，规定以下条件：
- 中央经线投影后为直线，且无长度变形；
- 纬线投影为同心圆圆弧，且无长度变形；
- 中央经线与所有纬线正交，标准纬线与所有经线正交；
- 投影前后无面积变形.
略去数学推导，得到地球面上某点 ( λ , φ ) (\lambda, \varphi) (λ,φ)到平面极坐标中某点 ( ρ , θ ) (\rho, \theta) (ρ,θ)的投影公式为：
{ ρ = R cot φ 0 + R φ 0 − R φ θ = R cos φ ρ λ \left\{ \begin{aligned} \rho&=R\cot \varphi_0+R\varphi_0-R\varphi\\ \theta&=\frac {R\cos\varphi}\rho \lambda \end{aligned} \right. ⎩⎪⎨⎪⎧ρθ=Rcotφ0+Rφ0−Rφ=ρRcosφλ
其中 λ \lambda λ是地球面上某点的经度， φ \varphi φ是纬度， R R R是地球半径.
取标准纬线为北纬30°，即 φ 0 = π / 6 \,\varphi_0={\rm \pi}/6 φ0=π/6：
取比例尺为 1 / R 1/R 1/R，这样投影公式中的 R R R均被1取代. 先把刚才的海岸线数据转成弧度制，再按投影公式作变换：
phi0 = pi / 6;
long = long * pi / 180;
lat = lat * pi / 180;
rho = cot(phi0) + phi0 - lat;
theta = cos(lat) .* long ./ rho;
在极坐标下，如果直接polar一下就会得到如下结果：
这告诉我们两件事：① 需要把 θ \,\theta\, θ值全部减90°转到我们看着舒服的角度（当然最后再去转图片也行）；② polar函数中的极坐标网格不是我们想要的（并且polar函数实际上是在直角坐标下画了一些圆，让我们看起来像一个极坐标网格）.
所以，减90°且转成直角坐标：
theta = theta - pi / 2;
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
plot出来（同时设置一下颜色和线宽），就是这样：
plot(x, y, 'k', 'LineWidth', 1.5);
仅有海岸线轮廓还不像要表白的，还需要添加经纬线.
Step3: 添加经纬线
与绘制海岸线轮廓的思路类似，还用“在地球面上选取若干点，作投影变换再依次连线”的方法.
以15°为间隔画纬线：
hold on
latln = -pi/2:pi/12:pi/2;
longln = -pi:0.01:pi;
for i = latln
rho1 = longln * 0 + cot(phi0) + phi0 - i;
delta1 = cos(i) * longln ./ rho1 - pi / 2;
x1 = rho1 .* cos(delta1);
y1 = rho1 .* sin(delta1);
plot(x1, y1, ':', 'color', [0.5, 0.5, 0.5]);
end
以15°为间隔画经线：
longln = -pi:pi/12:pi;
latln = -pi/2:0.01:pi/2;
for i = longln
rho1 = cot(phi0) + phi0 - latln;
delta1 = cos(latln) * i ./ rho1 - pi / 2;
x1 = rho1 .* cos(delta1);
plot(x1, y1, ':'， 'color', [0.5, 0.5, 0.5]);
end
对地图作简要修改，就得到成品啦~
支线：用Excel画世界地图
把刚才搞到的经纬度坐标存入.xls文件，用Excel打开，利用【散点图】功能，就能用Excel画世界地图了. 做法如下：
load coast1 % coast1即是刚才保存的.mat格式数据
% 当然如果想直接用他自带的那个远东地区大于180°的，直接load coast就行
mat = [long, lat];
xlswrite(‘coast.xlsx’, mat)
然后打开当前目录下的【coast.xlsx】文件，选择相应数据，插入散点图即得：
是【等距圆柱投影】下的世界地图. 用Excel中的函数功能也能画出多种投影下的地图，大家不妨尝试一下.
孙达，蒲英霞. 地图投影（第二版）[M]. 南京：南京大学出版社，2012：120~121 ↩︎