为什么Dijkstra算法中真正最短路必须经过最短路集合

Dijkstra算法集合

在Dijkstra算法中，有这样两个集合：

集合	内容
集合S	源点**s(小写)**和已经确定了最短距离的顶点vi
数组dist[]	dist[v]为s到v的最短路径长度，但其中路径仅经过集合S中的顶点

疑惑

从Dijkstra算法中我们不难看出，若路径是按照非递减的顺序生成的，Dijistra算法认为真正的最短路径一定只经过S中的顶点。

为什么经过S中的顶点才是最短路径，就不能经过S以外的顶点是最短路径吗？

证明

我们采用反证法¹证明这个问题：

如果源点为A，我们即将确定最短路径的点为V
假设Dijkstra的想法是错误的，那么在集合S以外就会存在一个点W，最短路径是

A

W

V

Dijkstra算法不会先经过一个距离更远的点再到V，即A到W的距离肯定小于A到V 的距离

此时我们可以发现：

1. V是马上要确定最短路径的点
2. 路径是按照非递减的顺序生成的
3. A到W的距离小于A到V的距离
4. 集合S储存的是已经确定了最短距离的顶点vi

也就是说，既然A到W距离比A到V小，而且我们已经到将要确定V的最短距离这一步了，那么W一定已经被确定好最短距离了，即W一定已经被收进集合S中，这与我们的假设矛盾。

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1. 参考 浙江大学 陈越 《数据结构》 ↩︎