【计算机视觉】SIFT中LoG和DoG比较

在实际计算时，三种方法计算的金字塔组数noctaves，尺度空间坐标σ，以及每组金字塔内的层数S是一样的。同时，假设图像为640*480的标准图像。

金字塔层数：

其中o_min = 0，对于分辨率为640*480的图像N=5。

每组金字塔内图像数：
S=3，即在做极值检测时使用金子塔内中间3张图像。
对于LoG每组金字塔内有S+2张图像（S=-1，0,1,2,3），需要做S+1次高斯模糊操作（后一张图像由前一张做高斯模糊得到）；而DoG每组金字塔有S+3张高斯图像，得到S+2张DoG图像。
尺度空间系数：

其中，S表示每组金字塔内图像层数，n为当前高斯层数，取0-4。DoG需要5个尺度系数得到6张GSS图像，而LoG只需要前4个尺度系数得到5张图像。

LoG

高斯核使用正太分布（高斯函数）计算模糊模版，N维空间正太分布方程为：

 

于是，二维高斯模板上的距离中心点为(x,y)的元素对应高斯计算公式为：

 

规范化的高斯拉普拉斯图像为

 

最终构造LoG金字塔有5层，每层有S+2=5张图像，每层金字塔内每张图像尺度是前一张的k倍，即构成的连续尺度序列：

其中o为当前金字塔层数，n为在当前金字塔层中图像张数。
由于卷积计算性质：

在计算时，通过对前一张图像做尺度系数为的卷积操作，可以减少卷积计算次数。故在金字塔每层内的S+2张图像，需要S+1次卷积操作，每次LoG核的尺度系数为：

 

图1. LoG金字塔示意图。 左侧为图像尺度空间系数，红色矩形框为实际参与比较的空间系数，右侧为在上一张图像做LoG卷积操作的尺度系数

DoG

由于LoG与Gauss核具有如下关系：

即，

 

因此，LoG算子可以用高斯差分算子DoG（Difference of Guassians）表示。

 

于是通过高斯金字塔每层内相邻两张图像相减可以得到DoG金字塔。对于最后需要S张图像寻找极值点，需要S+2张DoG图像，S+3张高斯图像。具体关系如图2.所示。

图 2. 由高斯金字塔得到DoG金字塔及其对应的尺度空间系数示意图。

LoG & DoG

一个直观的比较结果，使用分别计算LoG和DoG，得到：

可以看到，LoG比DoG明显需要更多的加法运算和乘法运算。虽然DoG需要在每层金字塔多做一次高斯操作（即为了得到S+2张DoG图需要S+3张高斯模糊图），但通过减法取代LoG核的计算过程，显著减少了运算次数，大大节省了运算时间。

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