几个中值定理的考法和惯用题目形式

首先要感谢宇哥和B站的up主

具体定义在《张宇30讲》P85~86，序号也是按这本书来写的

定理	难点	题目的形式	应用
定理5：费马定理	1.证明x0是极值点 2.证明导函数最值在区间内部取得		证明存在某点导数为0
定理6：罗尔定理	1.证明区间端点函数值相等 2.构造辅助函数		1.证明存在某点导数为0 2.证明二阶导数某点为0，比如f’’(x0)=0
定理7：拉格朗日中值定理		1.有形如f(a)-f(b)的结构，如an-bn 2.有f和f’的关系式，如1/f’(x1)+1/f’(x2)	1.f(x)-f(x0)=f’(ε)(x-x0) 2.f(0)=0,则f(x)=f(x)-f(0)=xf’(ε) 3.证明不等关系 4.划分区间
定理8：柯西中值定理	证明g’(x)!=0	题目给了一个抽象函数f(x)+具体函数g(x)
定理9：泰勒公式		题目中出现了二阶导数	1.带拉氏余项的，多用于证明带ε的题目，以及区间结合中值定理 2.带佩亚诺余项的，多用于求解极限值

另外就是，上述定理经常和连续和最值定理、介值定理结合考察，只要题目里出现啥存在一阶连续导数、二阶连续导数的字眼，就说明肯定要对一阶/二阶导数用最值+介值定理，而且这个导数往往是插入到积分里面去的，比如：