埃及分数(迭代加深搜索，斐波那契分解分数)

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题目

描述
在古埃及，人们使用单位分数的和（形如$\frac{1}{a}$的，$a$是自然数）表示一切有理数。如：$\frac{2}{3}=\frac{1}{6}+\frac{1}{2}$，但不允许$\frac{2}{3}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}$，因为加数中有相同的。对于一个分数 ，表示方法有很多种，但是哪种最好呢？首先，加数少的比加数多的好，其次，加数个数相同的，最小的分数越大越好。如：
$$\frac{19}{45}=\frac{1}{3}+\frac{1}{12}+\frac{1}{180}$$

$$\frac{19}{45}=\frac{1}{3}+\frac{1}{15}+\frac{1}{45}$$

$$\frac{19}{45}=\frac{1}{3}+\frac{1}{18}+\frac{1}{30}$$

$$\frac{19}{45}=\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{180}$$

$$\frac{19}{45}=\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{18}$$
最好的是最后一种，因为$\frac{1}{18}$比$\frac{1}{180},\frac{1}{30},\frac{1}{45}$都大。
注意，可能有多个最优解。如：
$$\frac{59}{211}=\frac{1}{4}+\frac{1}{36}+\frac{1}{633}+\frac{1}{3798}$$

$$\frac{59}{211}=\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{633}+\frac{1}{3798}$$

由于方法一与方法二中，最小的分数相同，因此二者均是最优解。

给出 $a，b$编程计算最好的表达方式。保证最优解满足：最小的分数 $\ge \frac{1}{10^7}$。
输入
一行两个整数，分别为$a$和$b$的值。
输出
输出若干个数，自小到大排列，依次是单位分数的分母。
样例输入
19 45
样例输出
5 6 18
数据范围
$0<a<b<1000$

思路

在解这道题之前，我们先来了解一下斐波那契分解分数
$a,b$互质，其中$a<b$，分数$\frac{a}{b}$可以这样分：
$\lfloor \frac{b}{a}\rfloor =p_1，r_1=b\%a,\frac{a}{b}=\frac{a}{a\ast p_1+r_1}$而我们想要把$\frac{a}{b}$化为$\frac{1}{m}$和另外一个分数的和，那么显然我们要把分子化成$a\ast p_1+r_1$加上另一坨，所以$\frac{a}{b}=\frac{a}{a\ast p_1+r_1}=\frac{a\ast p_1+r1-r1}{(a\ast p_1+r_1)\ast p_1}=\frac{1}{p_1}-\frac{r_1}{b\ast p_1}$，而我们想要加法，显然$r_1<a$，所以我们要在$\frac{a\ast p_1+r_1-r_1}{(a\ast p_1+r_1)\ast p_1}$的分子加个$a$，就分子变成了$a\ast p_1+a=a\ast (p_1+1)$，所以在分母上也要乘上$p_1+1$，就等于$$\frac{a\ast p_1+a+r_1-r_1}{(a\ast p_1+r_1)\ast (p_1+1)}=\frac{1}{p_1+1}+\frac{a-r_1}{b}$$
准确的将该算法表述应该是这样的：
$$\begin{gathered} 设某个真分数的分子为a，分母为b； \\ 把b除以a的商部分加1后的值作为埃及分数的某一个分母c； \\ 将a乘以c再减去b，作为新的a； \\ 将b乘以c，得到新的b； \\ 如果a大于1且能整除b，则最后一个分母为b/a；算法结束； \\ 或者，如果a等于1，则最后一个分母为b；算法结束； \\ 否则重复上面的步骤。 \end{gathered}$$
至于这个搜索深度啊，经各老师试出来之后，6，7都可以过，所以自行斟酌吧，
除了这些，我们还要确定搜索的上下限
因为$\frac{a}{b}\ge \frac{1}{i}$，所以我们的分母要$i\ge \frac{b}{a}$，而如果$i<前一个搜索出的答案$，我们就要把$i$更新成前一个搜索出的答案+1，因为答案要求升序，这是下限。
因为$\frac{a}{b}\le \begin{array}{c}剩下深度个\\ \frac{1}{i}+\frac{1}{i}+\cdots +\frac{1}{i}\end{array}$，所以$i\le \frac{b\ast 剩下深度}{a}$，如果已有最优解，那么$i$一定要小于最优解的分母，最后注意细节就行了

代码

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
#define LL long long

LL s[7], cnt, ans[7], len = 10;
LL a, b, m_depth;

bool flag;

inline LL gcd(LL a, LL b){
    if( !b )
        return a;
    return gcd(b, a%b);
}

inline void IDDFS(LL a, LL b, LL k){
    if( k > m_depth )
        return ;
    if( b%a == 0 && b/a > s[k-1] ){
        s[k] = b/a;
        if( !flag || s[k] < ans[k] )
            memcpy(ans,s,sizeof(s));
        flag = 1;
        return;
    }
    LL q = b/a;
    if( q <= s[k-1] )
        q = s[k-1]+1;
    LL t = b*(m_depth-k+1)/a;
    if( flag && t >= ans[m_depth] )
        t = ans[m_depth]-1;
    for(LL i = q; i <= t; i ++){
        LL m = gcd(i*a-b, b*i);
        s[k] = i;
        IDDFS((i*a-b)/m,b*i/m,k+1);
    }
}

int main(){
    scanf("%lld%lld", &a, &b);
    LL d = gcd(a,b);
    a /= d;
    b /= d;
    for(m_depth = 1; m_depth <= 10; m_depth ++){
        IDDFS(a, b, 0);
        if( flag ){
            printf("%lld", ans[0]);
            for(int i = 1; i <= m_depth; i ++)
                printf(" %lld", ans[i]);
            break;
        }
    }
    return 0;
}