渲染管线理解1

渲染管线整个流程如下：

首先是顶点输入，通过模型变换，相机变换和投影变换变换到一个标准坐标系中ndc( $x\in [-1,1]$, $y\in [-1,1]$, $z\in [-1,1]$(或者[0,1]))，但是光有顶点数据是不够的，需要把它组装成点或者线或者三角形片元。然后把数据从ndc坐标转换到屏幕坐标形成片元，最后插值属性(比如颜色，深度值等)。

模型变换

模型变换有最基本平移旋转和尺度变换，推倒下次写
(x,y,z)表示当前坐标，(x’,y’,z’)表示转换后的坐标，其次坐标公式表示如下：

1. 平移变换
   $$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& t_x\\ 0& 1& 0& t_y\\ 0& 0& 1& t_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]$$
2. 旋转变换

• x轴旋转
  $$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& \cos {\theta }_x& -\sin {\theta }_x& 0\\ 0& \sin {\theta }_x& \cos {\theta }_x& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]$$
• y轴旋转
  $$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}\cos {\theta }_y& 0& \sin {\theta }_y& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ -\sin {\theta }_y& 0& \cos {\theta }_y& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]$$
• z轴旋转
  $$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}\cos {\theta }_z& -\sin {\theta }_z& 0& 0\\ \sin {\theta }_z& \cos {\theta }_z& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]$$

相机变换

假设右手坐标系，与opengl一致看向-z轴，如下

相对于世界的相机观察如下：

相机y轴代表view up向量，相机x轴代表view side向量，-z轴代表了朝向，可以代表物体和相机的距离。
计算相机矩阵有二种方法：

1. 相机相对原点的位置E，相机的朝向$v_{dir}$和$v_{up}$，都是单位化过，$v_{side}=v_{dir}\times v_{up}$，如果不知道$v_{u}p$，通常程序会设置一个垂直向上的方向$v_{world\_up}$，比如(0,1,0)。
   
   根据施密特正交:
   
   计算
   ${\mathbf{v}}_{up}={\mathbf{v}}_{world\_up}-({\mathbf{v}}_{world\_up}\cdot {\mathbf{v}}_{dir}){\mathbf{v}}_{dir}$
   注意当${\mathbf{v}}_{world\_up}$和${\mathbf{v}}_{dir}$方向一致的时候$({\mathbf{v}}_{world\_up}\cdot {\mathbf{v}}_{dir}){\mathbf{v}}_{dir}=1\cdot {\mathbf{v}}_{dir}$得到KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '\ ' at position 24: …v_{up}=\mathbf0\̲ ̲\mathbf v_{worl…和$v_{dir}$方向相反也是得到$0$
   如果采用这种方法要避免world_up与观察方向一致。
   解决方法是出现这种情况是指定任意的一个向量，比如$\mathbf{i},\mathbf{j}$。
2. 知道E和三个旋转值roll,pitch ,yaw，可以直接得到相机矩阵
   把世界坐标转换到相机坐标：${\mathbf{M}}_{world\to view}$
   通常我们直接求解从世界坐标系转换到相机坐标系的矩阵比较困难，但是找到一个从相机坐标系到世界坐标系的转换矩阵比较${\mathbf{M}}_{view\to world}$
   即得到这个矩阵后，对它求逆(invert())即可。
   
   假设一开始世界坐标(黑色基)与相机坐标系(红色基)重合，相机相对世界坐标先旋转后平移到图3，把小人转换到相机坐标系，先进行一个逆平移，再进行一个逆旋转即可得到，
   即相机到世界的变换通过一个旋转和一个平移的仿射变换
   记原点到相机位置的向量记为${\mathbf{v}}_{pos}$
   假设旋转的三个列向量量为$\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}$
   $$\begin{gathered} {\mathbf{M}}_{view\to world}=\mathbf{T}\mathbf{R}=[\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k},{\mathbf{v}}_{pos}][\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w},1] \\ {\mathbf{M}}_{view\to world}={\mathbf{M}}_{view\to world}^{-1}={\left(\left[\begin{array}{cc}\mathbf{E}& {\mathbf{v}}_{pos}\\ 0^T& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\mathbf{R}& 0& \\ 0^T& & 1\end{array}\right]\right)}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{R}}^{-1}& -({\mathbf{R}}^{-1}{\mathbf{v}}_{pos})\\ 0^T& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{R}}^T& -({\mathbf{R}}^T{\mathbf{v}}_{pos})\\ 0^T& 1\end{array}\right] \end{gathered}$$
   通常R为正交矩阵即${\mathbf{R}}^{-1}={\mathbf{R}}^T$

光照

下次写

投影变换

投影定义
用一个线性变换把n空间的点变换到m空间(m 透视投影

透视投影并不是真正的投影，3D到2D的转化是非线性的，平行直线不再平行

视锥

通常视锥把空间限制在一个6面的突面体，在这个体内的物体会被渲染或者一个截断无限金字塔。