NYOJ 451 光棍节的快乐 （组合数+全错位）

地址：http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=451

思路：组合数+全错位

全错排列问题,最早是由欧拉给出的答案.我们不妨设N个人的拿法为f(N),则f(N)=(N-1)[f(N-1)+f(N-2)].f(0)=0,f(1)=1.这个递推公式是很容易证明的.

证明如下:

设N个人为a,b,c,d...,N张卡为A,B,C,D...

若a拿b的卡B,b也拿a的卡A,则显然只剩下N-2个人拿卡,自然是f(N-2)种了.

若a拿b的卡B,b没拿a的卡A(与"b没拿b的卡B"相同),则显然与N-1个人拿卡一样,自然是f(N-1)种了.

而a不一定拿B,只要是B,C,D...(N-1个)中的一个就可以了,所以在f(N-1)+f(N-2)再乘上N-1就行了.

如果你学过解抽象函数方程的话,f(N)=(N-1)[f(N-1)+f(N-2)]在自然数内的解是f(N)=N=1).

 

代码如下：

 1 #include<stdio.h>

 2 int f(int n,int m)   //计算从n个人任选m个人的组合数即Cnm

 3 {

 4     long long max=1,min=1,a,b,c;

 5     for(a=n,c=m;a>=m,c>0;a--,c--)

 6     {

 7         max=max*a;

 8         min=min*c;

 9     }

10     b=max/min;  //b即为Cnm的值，你懂的。。。

11     return b;

12 }

13 int main()

14 {

15     long long a,b,n,m,c;

16     long long p[25]={0,0,1};

17     for(a=3;a<=20;a++)

18       p[a]=(a-1)*(p[a-1]+p[a-2]); //计算a个人全错位的排列情况

19     while(~scanf("%d%d",&n,&m))

20     {

21         printf("%lld\n",f(n,m)*p[m]);

22     }

23     return 0;

24 }