机器学习，详解SVM软间隔与对偶问题

今天是机器学习专题的第34篇文章，我们继续来聊聊SVM模型。

我们在上一篇文章当中推导了SVM模型在硬间隔的原理以及公式，最后我们消去了所有的变量，只剩下了\(\alpha\)。在硬间隔模型当中，样本是线性可分的，也就是说-1和1的类别可以找到一个平面将它完美分开。但是在实际当中，这样的情况几乎是不存在的。道理也很简单，完美是不存在的，总有些样本会出错。

那针对这样的问题我们应该怎么解决呢？

软间隔

在上文当中我们说了，在实际的场景当中，数据不可能是百分百线性可分的，即使真的能硬生生地找到这样的一个分隔平面区分开样本，那么也很有可能陷入过拟合当中，也是不值得追求的。

因此，我们需要对分类器的标准稍稍放松，允许部分样本出错。但是这就带来了一个问题，在硬间隔的场景当中，间隔就等于距离分隔平面最近的支持向量到分隔平面的距离。那么，在允许出错的情况下，这个间隔又该怎么算呢？

为了解决这个问题，我们需要对原本的公式进行变形，引入一个新的变量叫做松弛变量。松弛变量我们用希腊字母\(\xi\)来表示，这个松弛变量允许我们适当放松$y_i(\omega^T x_i + b) \ge 1 \(这个限制条件，我们将它变成\)y_i(\omega^T x_i + b) \ge 1-\xi_i $。

也就是说对于每一条样本我们都会有一个对应的松弛变量\(\xi_i\)，它一共有几种情况。

1. \(\xi=0\)，表示样本能够正确分类
2. \(0 < \xi < 1\)，表示样本在分割平面和支持向量之间
3. \(\xi = 1\)，表示样本在分割平面上
4. \(\xi \ge 1\)，表示样本异常

我们可以结合下面这张图来理解一下，会容易一些：

松弛变量虽然可以让我们表示那些被错误分类的样本，但是我们当然不希望它随意松弛，这样模型的效果就不能保证了。所以我们把它加入损失函数当中，希望在松弛得尽量少的前提下保证模型尽可能划分正确。这样我们可以重写模型的学习条件：

\[\begin{align*} &\min\quad \frac{1}{2}||\omega||^2 + C\sum_{i=1}^m\xi_i\\ & \begin{array}{r@{\quad}r@{}l@{\quad}l} s.t.&y_i(\omega^Tx_i+b)\geq1-\xi_i, &i=1,2,3\ldots,n\\ &\xi_i \geq 0,&i=1,2,3\ldots,n\\ \end{array} \end{align*}\]

这里的C是一个常数，可以理解成惩罚参数。我们希望\(||\omega||^2\)尽量小，也希望\(\sum \xi_i\)尽量小，这个参数C就是用来协调两者的。C越大代表我们对模型的分类要求越严格，越不希望出现错误分类的情况，C越小代表我们对松弛变量的要求越低。

从形式上来看模型的学习目标函数和之前的硬间隔差别并不大，只是多了一个变量而已。这也是我们希望的，在改动尽量小的前提下让模型支持分隔错误的情况。

模型推导

对于上面的式子我们同样使用拉格朗日公式进行化简，将它转化成没有约束的问题。

首先，我们确定几个值。第一个是我们要优化的目标：\(f(x)=\min_{\omega, b, \xi}\frac{1}{2}||\omega||^2 + C\sum_{i=1}^m \xi_i\)

第二个是不等式约束，拉格朗日乘子法当中限定不等式必须都是小于等于0的形式，所以我们要将原式中的式子做一个简单的转化：

\[\begin{aligned} g(x) = 1 - \xi_i - y_i(\omega^Tx_i + b) \leq 0 \\ h(x) = -\xi_i \le 0 \end{aligned} \]

最后是引入拉格朗日乘子: \(\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m), \beta = (\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_m)\)

我们写出广义拉格朗日函数：\(L(\omega, b, \xi, \alpha, \beta) = \frac{1}{2}||\omega||^2 + C\sum_{i=1}^m \xi_i, + \sum_{i=1}^m \alpha_i(1 - \xi_i - y_i(\omega^Tx_i + b)) -\sum_{i=1}^m \beta_i\xi_i\)

我们要求的是这个函数的最值，也就是\(\min_{\omega, b, \xi}\max_{\alpha \ge 0, \beta\ge 0}L(\omega, b, \xi, \alpha, \beta)\)。

在处理硬间隔的时候，我们讲过对偶问题，对于软间隔也是一样。我们求L函数的对偶函数的极值。

对偶问题

原函数的对偶问题是\(\max_{\alpha \ge0, \beta \ge 0}\min_{\omega, b, \xi}L(\omega, b, \xi, \alpha, \beta)\)，这个对偶问题要成立需要满足KKT条件。

我们先把这个KKT条件放一放，先来看一下对偶问题当中的内部的极小值。这个极小值没有任何约束条件，所以我们可以放心大胆地通过求导来来计算极值。这个同样是高中数学的内容，我们分别计算\(\frac{\partial L}{\partial \omega}\)，\(\frac{\partial L}{\partial b}\)和\(\frac{\partial L}{\partial \xi}\)。

求导之后，我们可以得到：

\[\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial \omega} = 0 &\rightarrow \omega = \sum_{i=1}^m \alpha_i y_i x_i \\ \frac{\partial L}{\partial b} = 0 &\rightarrow \sum_{i=1}^m \alpha_i y_i = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \xi} = 0 &\rightarrow \beta_i = C - \alpha_i \end{aligned} \]

我们把这三个式子带入对偶函数可以得到：

\[\begin{aligned} L(\omega, b, \xi, \alpha,\beta) &= \frac{1}{2} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^m \alpha_i \alpha_j y_iy_jx_i^Tx_j + C\sum_{i=1}^m \xi_i + \sum_{i=1}^m \alpha_i (1 - \xi_i) - \sum_{i=1}^m (C - \alpha_i) \xi_i \\ &= \sum_{i=1}^m\alpha_i - \frac{1}{2}\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^m \alpha_i \alpha_j y_iy_jx_i^Tx_j \end{aligned} \]

由于\(\beta_i \ge 0\)，所以我们可以得到\(0 \le \alpha_i \le C\)，所以最后我们可以把式子化简成：

\[\begin{align*} &\max_{\alpha} \sum_{i=1}^m\alpha_i - \frac{1}{2} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^m \alpha_i \alpha_j y_iy_jx_i^Tx_j\\ & \begin{array}{r@{\quad}r@{}l@{\quad}l} s.t.& \sum_{i=1}^m \alpha_i y_i = 0 \\ & 0 \le \alpha_i \le C,&i=1,2,3\ldots,m\\ \end{array} \end{align*}\]

将原始化简了之后，我们再回过头来看KKT条件。KKT条件单独理解看起来有点乱，其实我们可以分成三个部分，分别是原始问题可行：

\[\begin{aligned} 1 - \xi_i - y_i(\omega^Tx_i + b) \le 0 \\ -\xi_i \le 0 \end{aligned} \]

对偶问题可行：

\[\begin{aligned} \alpha_i \ge 0 \\ \beta_i = C - \alpha_i \end{aligned} \]

以及松弛可行：

\[\begin{aligned} \alpha_i (1 - \xi - y_i(\omega^Tx_i + b)) = 0 \\ \beta_i \xi_i = 0 \end{aligned} \]

我们观察一下倒数第二个条件：\(\alpha_i (1 - \xi - y_i(\omega^Tx_i + b)) = 0\)。

这是两个式子相乘并且等于0，无非两种情况，要么\(\alpha_i = 0\)，要么后面那串等于0。我们分情况讨论。

1. 如果\(\alpha_i = 0\)，那么\(y_i(\omega^Tx_i + b) - 1 \ge 0\)，样本分类正确，不会对模型产生影响。
2. 如果\(\alpha_i > 0\)，那么\(y_i(\omega^Tx_i + b) = 1 - \xi_i\)，则样本是支持向量。由于\(C = \alpha_i + \beta_i\) ，并且\(\beta_i \xi_i= 0\)。我们又可以分情况：
   1. \(\alpha_i < C\)，那么\(\beta_i > 0\)，所以\(\xi_i = 0\)，那么样本在边界上
   2. 如果\(\alpha_i = C\)，那么\(\beta_i = 0\)，如果此时\(\xi \le 1\)，那么样本被正确分类，否则样本被错误分类

经过了化简之后，式子当中只剩下了变量\(\alpha\)，我们要做的就是找到满足约束条件并且使得式子取极值时的\(\alpha\)，这个\(\alpha\)要怎么求呢？我们这里先放一放，将在下一篇文章当中详解讲解。

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