数据结构之数组|特殊矩阵压缩

数组

数组：按一定格式排列起来的，具有相同类型的数据结构的集合。

一维数组
一维数组：若线性表中的数据元素为非结构的简单元素，则称为一位数字。
一维数组的逻辑结构：线性结构。定长的线性表。
声明格式：数据类型 变量名称[长度]；
例：int num[5] = {0，1, 2, 3, 4}；

二维数组
二维数组：
若一维数组中的数据元素中的又是一维数组结构，则称为二维数组。
二维数组的逻辑结构：
1.非线性结构：每一个数据元素既在一个行表中，又在一个列表中。
2.线性结构（定长的线性表）：该线性表的每个数据元素也是一个定长的线性表。
声明格式：数据类型 变量名称[行数][列数]；
例：int num[5][7]；

数组的类型定义

在C语言中，一个二维数组类型也可以定义为一维数组类型（其分量类型为一维数组类型），即：
typedef elemtype array2[m][n];
等价于：
typedef elemtype array1[n];
typedef array1 array2[m];
三位数组：若二维数组中的元素又是一个一维数组，则称作三维数组。
同理可得，n维数组，若n-1维数组中的元素又是一个一维数组结构，则称为n维数组。

结论： 线性表结构是数组结构的一个特例，而数组结构又是线性表结构的扩展。

数组特点： 结构固定，定义后维数和维界不再改变。
数组基本结构：除了结构的初始化和销毁之外，只有取元素和修改元素值的操作。

n维数组的抽象数据类型：

数组的顺序存储

数组特点： 结构固定，定义后维数和维界不再改变。
数组基本操作：初始化、销毁、取元素和修改元素值。一般不做插入和删除操作。

由于数组的特点和基本操作，我们一半都是采用顺序存储结构来表示数组。

注意：数组可以是多维的，但存储数据元素的内存单元地址是一维的，因此，在存储数据结构之前，需要解决将多维关系映射到一维关系的问题。

二维数组：

以行为主序的存储结构为例：
假设每个数据元素占L个存储单元，则二维数组A[0…m-1,0…n-1]（即下标从0开始，共有m行n列）中任一元素aij的存储位置可有下式确定：
LOC(i , j) = LOC(0 , 0) + (n * i + j) L
式中，LOC(i,j)是aij的存储位置；LOC（0，0）是a00的存储位置，即二维数组A的起始存储位置、也称为基地址或基址。

由上式可以推广得出：n维数组的某一元素的存储位置公式：

式中称为n维数组的映像函数，数组元素的存储位置是其下标的线性函数，一旦确定了数组各维的长度，ci就是常数。由于计算各个元素存储位置的时间相等，所以存取数组中任一元素的时间也相等，即数组是一种随机存取结构。

举例：

特殊矩阵的压缩存储

矩阵：一个由m*n个元素排列成的m行n列的表。

矩阵的常规存储：将矩阵描述为一个二维数组。
矩阵的常规存储的特点：可以对其元素进行随机存取；
矩阵运算非常简单，存储的密度为1。
不适宜常规存储的矩阵：值相同的元素很多且呈某种规律分布；零元素多
矩阵的压缩存储：为多个相同的非零元素只分配一个存储空间；对零元素不分配空间。

1.对称矩阵

特点：在n*n的矩阵a中，满足如下性质：
aij = aji （i<= i, j <= n）
存储方法：只存储下（或者上）三角（包括主对角线）的数据元素。共占用n(n+1)/2个元素空间。

对称矩阵的存储结构：
对称矩阵上下三角中的元素均为：n(n+1) / 2
可以以行序为主序将元素存放在一个一维数组sa[n(n+1) / 2]中。

2.三角矩阵

3.对角矩阵（带状矩阵）

以主对角线为0，进行存储。右上递减，左下递增。

稀疏矩阵存储

稀疏矩阵：设在m*n的矩阵中有y个非零元素。

压缩存储原则：存各非零元的值、行列位置和矩阵的行列数。
三元组的不同表示方法可决定稀疏矩阵不同的压缩存储方法。
1.三元组顺序表

三元组顺序表又称有序的双下标法。
三元组顺序表的优点：非零元素在表中按行序有序存储，因此便于进行依行顺序处理的矩阵运算。
缺点：不能随机存取。若按行号存取某一行中的非零元，则需从头开始进行查找。
2.稀疏矩阵的链式存储结构：十字链表

• 优点：它能够灵活地插入因运算而产生地新的非零元素，删除因运算而产生的新的零元素，实现矩阵的各种运算。
• 在十字链表中，矩阵的每一个非零元素用一个结点表示，该结点除了（row，col，value）以外，还要有两个域：
  • right：用于链接同一行中的下一个非零元素。
  • down：用以链接同一列中的下一个非零元素。
• 十字链表中结点的结构示意图：
  
  举例：
  
  M为头指针；