关于二维平面坐标变换矩阵的说明

什么是坐标变换矩阵

坐标转换矩阵就是指将两个点之间的仿射关系以转换矩阵的形式表现出来，也就是通过转换矩阵作用于原始点的坐标，得到相对应的通过仿射（平移，缩放，选择）得到的新的点的坐标。其具体公式为：

其中(x’, y’)为仿射后的点的坐标，(x, y)为初始点坐标，其余的矩阵即为对应的仿射关系，以下，我们就将分别从平移，缩放和旋转的角度证明可以用该公式表示二维坐标点之间的仿射关系。

从平移的角度证明

假设，二维平面的一个点做了如下的平移：

那么，该关系可用如下的矩阵运算表示：

于是，便证明了任意的平移关系可以用坐标变换矩阵表示。

从缩放的角度证明

假设，二维平面的点做了如下的缩放：

那么，该关系可以用如下的矩阵运算表示：

于是，便证明了任意的缩放关系可以用坐标变换矩阵表示。

从旋转的角度证明

假设，二维平面的点向逆时针旋转了$\theta$度：

容易得到点P’的坐标为（哈哈，如果对这步有疑问，请看下一小节）：

那么，该关系可以用如下的矩阵运算表示：

于是，任意的旋转都可以用坐标变换矩阵表示

从仿射关系证明（综合地看）

以上其实已经证明了坐标变换矩阵可以用来表示任意单一的仿射关系（平移，缩放，旋转），那么如果一个点同时进行了平移，缩放，旋转，如何证明该坐标变换矩阵仍然可以表示该关系。也就是对一般化的证明。
首先，为了方便证明，我们换一种方式表示坐标变换矩阵（你可以通过简单的矩阵运算可以发现这是同一个表达）：

那么，这就好办了，对于一个点P0，如果它进行了平移变换得到P1，那么可以用一个坐标变换矩阵A（3*3的矩阵）表示。如果它还进行了缩放变换得到P2，那么可以用一个坐标变换矩阵B表示。如果它还做了旋转变换得到P3，那么可以用一个坐标变换矩阵C表示。最后，通过一步一步地坐标变换，如图：

注：当无某种变换时，其对应的变换矩阵即为3阶的单位矩阵。
于是，P0到P3的仿射可以用如下变换矩阵T表示：

并且容易证明矩阵T的最后一行元素必定为（0， 0 ，1）

延伸：旋转矩阵的证明

对于点P逆时针旋转$\theta$度后，要求解点P’的坐标，首先，我们通过坐标轴的旋转将问题进行转换：

由此，问题转换为已知P’在逆时针旋转$\theta$角度后的坐标轴下的坐标为（x, y)，求其在原坐标轴下的坐标(x’, y’)，为了方便说明，见下图：

主要注意下直角三角形CAO和直角三角形P’AB，便可容易得到 ：