matlab相机标定工具(camera calibrator)内外参矩阵数据格式

摘要

matlab把点坐标看作行向量，而《视觉SLAM十四讲》（以下简称《十四讲》）把点坐标看作列向量，因此它们把世界坐标系下的点投影到像素坐标系下时，使用的公式有所不同。这导致使用matlab标定得到相机的内外参矩阵，与高翔《视觉SLAM十四讲》所说的内外参矩阵格式不一致。要想得到正确的参数，还需要弄清楚matlab内外参矩阵的数据格式。

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结论

先给出结论，简单来说以标定板左上角作为世界坐标系原点，uv方向作为世界坐标系的XY轴，有一下结论：

• matlab标定得到的相机内参矩阵（IntrinsicMatrix，$K_{matlab}$），对应的是《十四讲》中的$K^T$；
• matlab标定得到的旋转矩阵（RotationMatrices ，$R_{matlab}$），对应的是《十四讲》中的$R_{wc(3\times 3)}$；
• matlab标定得到的平移向量（TranslationVectors，$t_{matlab}$），对应的是《十四讲》中的$t_{cw(1\times 3)}^T$。

内容

约定： 以标定板左上角作为世界坐标系原点，uv方向作为世界坐标系的XY轴。下标 $c$ 表示camera(相机)坐标系， 下标 $w$ 表示world(世界)坐标系，例如：$T_{cw(3\times 4)}$ 表示在这个矩阵右边乘以world世界坐标系下的点，会得到camera相机坐标系下的点。

《十四讲》：《十四讲》里把点坐标看作列向量，其将世界坐标系下的点$\left[\begin{array}{c}X\\ Y\\ Z\\ 1\end{array}\right]$，投影到像素坐标系下的点$\left[\begin{array}{c}u\\ v\\ 1\end{array}\right]$的公式如下 :
$$\begin{array}{rl}s\left[\begin{array}{c}u\\ v\\ 1\end{array}\right]& =K{T}_{cw(3\times 4)}\left[\begin{array}{c}X\\ Y\\ Z\\ 1\end{array}\right]=K\left[\begin{array}{cc}{R}_{cw(3\times 3)}& t_{cw(3\times 1)}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}X\\ Y\\ Z\\ 1\end{array}\right]\end{array}$$

matlab： matlab把点坐标看作行向量，其将世界坐标系下的点$\left[\begin{array}{cccc}X& Y& Z& 1\end{array}\right]$，投影到像素坐标系下的点$\left[\begin{array}{ccc}u& v& 1\end{array}\right]$的公式如下 :
$$\begin{array}{rl}s\left[\begin{array}{ccc}u& v& 1\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cccc}X& Y& Z& 1\end{array}\right]T_{cw(4\times 3)}^T{K}^T\\ & =\left[\begin{array}{cccc}X& Y& Z& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{R}_{cw(3\times 3)}^T\\ t_{cw(1\times 3)}^T\end{array}\right]K^T\\ & =\left[\begin{array}{cccc}X& Y& Z& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{R}_{wc(3\times 3)}\\ t_{cw(1\times 3)}^T\end{array}\right]K^T\end{array}$$

Note: 旋转矩阵R为正交矩阵，而对于正交矩阵有该性质：$R{R}^T=R{R}^{-1}=E$，即旋转矩阵的转置就是它的逆矩阵$R^T=R^{-1}$。

综上可知，以标定板左上角作为世界坐标系原点，uv方向作为世界坐标系的XY轴，有一下结论，有如下结论成立：

• matlab标定得到的相机内参矩阵（IntrinsicMatrix，$K_{matlab}$），对应的是《十四讲》中的$K^T$；
• matlab标定得到的旋转矩阵（RotationMatrices ，$R_{matlab}$），对应的是《十四讲》中的$R_{wc(3\times 3)}$；
• matlab标定得到的平移向量（TranslationVectors，$t_{matlab}$），对应的是《十四讲》中的$t_{cw(1\times 3)}^T$。

相关/参考链接

matlab帮助：cameraParameters