【最佳平方逼近】hdu4851

找出不超过n次的多项式f(x)使得上式最小。

设f(x)=sigma(ai*x^i)

将积分式展开有三项，第一项是关于a的二次式，第二项是关于a的一次式，第三项式常数项。

如果想让上式最小，可以对于n+1个系数各求一次偏导，使其偏导为0,则得到n+1个方程，高斯消元即可求解。

关键是这题要用java，但当时还不太会用java，因此解不来。

其实这题是可用希尔波特矩阵直接构造高斯消元，第二天上科学计算课的时候正好就提到了这类题目，推出来和上面求偏导的方法推出来是一样的。

import java.io.*;
import java.util.*;
import java.math.*;
public class Main{
    static BigDecimal c[][];
    static BigDecimal pro[];
    static BigDecimal cal[];
    static BigDecimal E;
    static int prec=100;
    static int r_m;
    static int n;
//    static BigInteger c[];
    private static void swap(int i,int j)
    {
        BigDecimal tmp;
        for (int k=0;k<=n+1;k++) {
            tmp=c[i][k];
            c[i][k]=c[j][k];
            c[j][k]=tmp;
        }
    }
    private static void Gauss()
    {
        for (int j=0;j<=n;j++) {
            int k=j;
            BigDecimal Max=new BigDecimal(-1.0);
            for (int i=j;i<=n;i++)
                if (Max.compareTo(c[i][j].abs())==-1) {
                    Max=c[i][j].abs();
                    k=i;
                }
            swap(j,k);
            for (int i=0;i<=n;i++)
                if (i!=j) {
                    BigDecimal tmp;
                    tmp=c[i][j].divide(c[j][j],prec,r_m);
                    for (k=j+1;k<=n+1;k++)
                        c[i][k]=c[i][k].subtract(c[j][k].multiply(tmp));
                    c[i][j]=BigDecimal.ZERO;
                }
        }
        for (int i=0;i<=n;i++)
            c[i][i]=c[i][n+1].divide(c[i][i],prec,r_m);
    }
    public static void origin()
    {
        r_m=BigDecimal.ROUND_DOWN;
        pro=new BigDecimal[101];
        cal=new BigDecimal[101];
        BigDecimal sum=BigDecimal.ZERO;
        for (int i=1;i<=100;i++) {
            BigDecimal tmp=BigDecimal.valueOf(i);
            sum=tmp;
            pro[i]=BigDecimal.ONE;
            pro[i]=pro[i].divide(sum,prec,r_m);
        }
        sum=BigDecimal.ONE;
        cal[0]=sum;
        for (int i=1;i<=100;i++) {
            BigDecimal tmp=BigDecimal.valueOf(i);
            sum=sum.multiply(tmp);
//            cal[i]=BigDecimal.ONE;
            cal[i]=sum;
        }
        E=BigDecimal.ONE;
        for (int i=1;i<=100;i++) {
            BigDecimal tmp=BigDecimal.ONE;
            tmp=tmp.divide(cal[i],prec,r_m);
            E=E.add(tmp);
        }
    }
    public static void main(String args[]) throws Exception{
        Scanner cin=new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
        c=new BigDecimal[100][100];
        origin();
        while (cin.hasNext()) {
            n=cin.nextInt();
            for (int i=0;i<=n+1;i++)
                for (int j=0;j<=n+1;j++)
                    c[i][j]=BigDecimal.ZERO;
            for (int i=0;i<=n;i++)
                for (int j=0;j<=n;j++) {
                        c[i][j]=c[i][j].add(pro[i+j+1]);
                        c[j][i]=c[j][i].add(pro[i+j+1]);
                }
            for (int i=0;i<=n;i++) 
                c[i][n+1]=c[i][n+1].subtract(E);
            for (int i=0;i<=n;i++)
                if (((i+1)&1)!=0) {
                    c[i][n+1]=c[i][n+1].add(cal[i]);
                }
                else {
                    c[i][n+1]=c[i][n+1].subtract(cal[i]);
                }
            for (int i=1;i<=n;i++)
                for (int j=i;j<=n;j++) 
                    if ((i&1)==1) {
                        c[j][n+1]=c[j][n+1].add(E.multiply(cal[j].divide(cal[j-i],prec,r_m)));
                    }
                    else {
                        c[j][n+1]=c[j][n+1].subtract(E.multiply(cal[j].divide(cal[j-i],prec,r_m)));
                    }
            for (int i=0;i<=n;i++)
                c[i][n+1]=c[i][n+1].multiply(BigDecimal.valueOf(-2.0));
/*	        for (int i=0;i<=n;i++) {
                for (int j=0;j<=n+1;j++)
                    System.out.printf("%.5f ",c[i][j].setScale(55,r_m));
                System.out.println();
            }*/
            Gauss();
            for(int i=0;i<=n;i++)
               // System.out.println(c[i][i].setScale(60,r_m));
                System.out.printf("%.55f\n",c[i][i].setScale(60,r_m));
//            System.out.println(pro[3].setScale(55,r_m));            
        }
    }
}