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球坐标下的Laplace

球坐标下的Laplace
∇ = r ^ ∂ r + θ ^ 1 r ∂ θ + ϕ ^ 1 r sin ⁡ θ ∂ ϕ Δ φ = ∇ ⋅ ∇ φ = ∇ ⋅ ( r ^ ∂ r φ + θ ^ r ∂ θ φ + ϕ ^ r sin ⁡ θ ∂ ϕ φ ) = ∇ ( r 2 sin ⁡ θ ∂ r φ ) ⋅ r ^ r 2 sin ⁡ θ + ∇ ( sin ⁡ θ ∂ θ φ ) ⋅ θ ^ r sin ⁡ θ + ∇ ( 1 sin ⁡ θ ∂ ϕ φ ) ⋅ ϕ ^ r = 1 r 2 ∂ r ( r 2 ∂ r φ ) + 1 r 2 sin ⁡ θ ∂ θ ( sin ⁡ θ ∂ θ φ ) + 1 r 2 sin ⁡ 2 θ ∂ ϕ ∂ ϕ φ \nabla=\hat{r}\partial_r+\hat{\theta}\frac{1}{r}\partial_\theta+\hat{\phi}\frac{1}{r\sin\theta}\partial_\phi\\ \Delta\varphi=\nabla\cdot\nabla\varphi\\ =\nabla\cdot(\hat{r}\partial_r\varphi+\frac{\hat{\theta}}{r}\partial_\theta\varphi+\frac{\hat{\phi}}{r\sin\theta}\partial_\phi\varphi)\\ =\nabla(r^2\sin\theta\partial_r\varphi)\cdot\frac{\hat{r}}{r^2\sin\theta}+\nabla(\sin\theta\partial_\theta\varphi)\cdot\frac{\hat{\theta}}{r\sin\theta}+\nabla(\frac{1}{\sin\theta}\partial_\phi\varphi)\cdot\frac{\hat{\phi}}{r}\\ =\frac{1}{r^2}\partial_r(r^2\partial_r\varphi)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\partial_\theta(\sin\theta\partial_\theta\varphi)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\partial_\phi\partial_\phi\varphi ∇=r^∂r​+θ^r1​∂θ​+ϕ^​rsinθ1​∂ϕ​Δφ=∇⋅∇φ=∇⋅(r^∂r​φ+rθ^​∂θ​φ+rsinθϕ^​​∂ϕ​φ)=∇(r2sinθ∂r​φ)⋅r2sinθr^​+∇(sinθ∂θ​φ)⋅rsinθθ^​+∇(sinθ1​∂ϕ​φ)⋅rϕ^​​=r21​∂r​(r2∂r​φ)+r2sinθ1​∂θ​(sinθ∂θ​φ)+r2sin2θ1​∂ϕ​∂ϕ​φ

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