神奇少年的数据结构学习笔记五(树)

1.树的定义：

树(Tree)是n(n>=0)个结点的有限集。n=0时称为空树。在n>0时，在任意一颗非空的树中

1. 有且仅有一个特定的称为根(Root)的结点,它没有直接前驱，但有零个或多个直接后驱;
2. 当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集.....,其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树(SubTree)，每个子树的根节点有且只有一个直接前驱，但有零个或多个直接后驱；

结点的概念

1. 结点 ：包含一个数据元素及若干指向其他结点的分支。
2. 结点的度：一个结点的子树个数。
3. 分支结点：度不为0的结点，又称非终端结点
4. 终端结点：度为0都结点，又称叶结点
5. 结点的层次：从根开始，根为第一层，根的子结点为第二层，以此类推。
6. 结点之间的关系：结点的子树的根称为该结点的孩子，相应地，该结点称为孩子的双亲结点。同一个双亲的孩子之间互称兄弟结点。结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点。对于上图 H来说 E，B,A都是它的祖先。反之，以某结点为根的子树的任一结点都是该结点的子孙。

   树的概念

1. 树的度：树内所有结点的度的最大值。
2. 树的高度：树中结点层次的最大值为树的深度或高度。比如上图的高度就是4.
3. 有序树：将树中各子树看成从左到右是有次序的，不能互换的，则称该树为有序树，否则是无序树。

4. 森林：m(m>=0)颗互不相交的树的集合，对树中的每个结点而言，其子树的集合即为森林。

线性结构和树结构对比

线性结构	树结构
第一个数据元素：无前驱	根节点：无双亲，唯一
最后一个数据元素：无后驱	叶结点：无孩子，可以多个
中间元素：一个前驱一个后驱	中间结点：一个双亲多个孩子

 

2.二叉树的定义：

1. 每个结点的度都不大于2
2. 每个结点的孩子结点次序不能任意颠倒

由此得出：二叉树的每个结点0、1或2个子树，且有左右之分，左边的是左子树，右边的是右子树

二叉树有五种基本形态

1. 空二叉树
2. 只有一个根结点
3. 根结点只有左子树
4. 根结点只有右子树
5. 根结点既有左子树又有右子树

特殊二叉树

1. 斜树：每层只有一个结点
2. 满二叉树：所有的分支结点都存在左子树和右子树，并且所有的叶子都在同一层上
3. 完全二叉树：按照满二叉树的顺序而出现，中间没有空隙

左斜树和右斜树

满二叉树和完全二叉树

二叉树的性质

1. 在二叉树的第i层上至多有个结点（i>=1）
2. 深度为k的二叉树至多有-1个结点（k>=1）
3. 对任何一颗二叉树T,如果其终端结点数为,度为2的结点数为,则=+1
4. 具有n个结点的完全二叉树的深度为（）+1
5. 对于一颗有n个结点的完全二叉树 ,对于任意结点有： 1.如果i=1，则i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲是结点（i/2）; 2.如果2i>n，则结点i无左子树；否则其左子树是结点2i;  3.如果2i+1>n。则结点i无左右子树；否则其右子树是结点2i+1;

3.二叉树的存储结构

1.顺序存储结构

二叉树之间是有顺序的，所有数组的下标足够提醒二叉树之间的顺序关系，结点为空的设置一个不存在的值就可以了，但是比如下图的情况的话，空白的结点都要占用存储空间，所以顺序存储结构一般只适用于完全二叉树。

 

2.二叉树的链式存储结构

二叉树的每个结点最多有两个孩子，所以为它设计一个数据域和两个指针域是比较自然的想法，我们称这样的链表叫做二叉链表。（如果有需要，还可以加上指向双亲的指针域，那样称为三叉链表）

lchild

data

rchild

 

data是数据域，lchild和rchild都是指针域，分别存放左子树和右子树的指针。   

4.遍历二叉树

二叉树的遍历是指从根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树中的所有结点，使得每个结点被访问且仅被访问一次。

二叉树的遍历方法

1. 前序遍历 :若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问根结点，然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树；例顺序为：ABDGHCEIG             

    

                            
2. 中序遍历:若二叉树为空，则空操作返回，否则从根结点开始，中序遍历根结点的左子树，然后访问根结点，最后中序遍历右子树；例顺序为：GDHBAEICF      
3. 后序遍历:若二叉树为空，则空操作返回，否则从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树，最后访问根结点；例顺序为：GHDBIEFCA                                           
4. 层序遍历:若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问根结点，然后从上而下逐层遍历，同一层按从左到右的顺序对结点逐个访问；例顺序为：ABCDEFGHI 

 

说得再多关看文章或视频是不能完全理解应用树的结构的，还是要多刷一下算法题，才能更深一步的理解