齐次坐标系作用

作者：格东西
链接：https://www.zhihu.com/question/59595799/answer/301242100
来源：知乎
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
 

引用别人翻译好的一篇文章：

译文地址（关于齐次坐标的理解（经典） - CSDN博客）：

英文地址：http://www.songho.ca/math/homogeneous/homogeneous.html

问题：两条平行线可以相交于一点

在欧氏几何空间，同一平面的两条平行线不能相交，这是我们都熟悉的一种场景。

然而，在透视空间里面，两条平行线可以相交，例如：火车轨道随着我们的视线越来越窄，最后两条平行线在无穷远处交于一点。

 

欧氏空间（或者笛卡尔空间）描述2D/3D几何非常适合，但是这种方法却不适合处理透视空间的问题（实际上，欧氏几何是透视几何的一个子集合），2维笛卡尔坐标可以表示为（x,y）。

 

如果一个点在无穷远处，这个点的坐标将会(∞,∞)，在欧氏空间，这变得没有意义。平行线在透视空间的无穷远处交于一点，但是在欧氏空间却不能，数学家发现了一种方式来解决这个问题。

 

方法：齐次坐标

简而言之，齐次坐标就是用N+1维来代表N维坐标

 

我们可以在一个2D笛卡尔坐标末尾加上一个额外的变量w来形成2D齐次坐标，因此，一个点(X,Y)在齐次坐标里面变成了（x,y,w），并且有

X = x/w

Y = y/w

例如，笛卡尔坐标系下（1，2）的齐次坐标可以表示为（1，2，1），如果点（1，2）移动到无限远处，在笛卡尔坐标下它变为(∞,∞)，然后它的齐次坐标表示为（1，2，0），因为(1/0, 2/0) = (∞,∞)，我们可以不用”∞"来表示一个无穷远处的点了，哈哈。

 

为什么叫齐次坐标？

 

我们把齐次坐标转化为笛卡尔坐标的方法是前面n-1个坐标分量分别除以最后一个分量即可。

 

 

 

 

 

 

 

转化齐次坐标到笛卡尔坐标的过程中，我们有一个发现，例如：

 

 

 

 

 

 

 

 

你会发现(1, 2, 3), (2, 4, 6) 和(4, 8, 12)对应同一个Euclidean point (1/3, 2/3)，任何标量的乘积，例如(1a, 2a, 3a) 对应 笛卡尔空间里面的(1/3, 2/3) 。因此，这些点是“齐次的”，因为他们代表了笛卡尔坐标系里面的同一个点。换句话说，齐次坐标有规模不变性。 证明：两条直线可以相交 考虑如下方程组：

 

我们知道在笛卡尔坐标系里面，该方程组无解，因为C ≠ D,如果C=D,两条直线就相同了。 让我们在透视空间里面，用齐次坐标x/w, y/w代替x ,y,

 

现在我们有一个解(x, y, 0)，两条直线相交于(x, y, 0)，这个点在无穷远处。 小结：齐次坐标在图形学中是一个非常基础的概念，例如3D场景映射到2D场景的过程中

 

、、、、、、、、、、、、、、、、、、

注意一些要点

1.齐次坐标又叫什么 投影坐标 当然了矩阵的第四维可以很好地处理投影问题 但是 我觉得他忽略了它对我来说更重要的作用

就是 可以很好的将平移也代入到矩阵运算中，因为 x=x*a00+y*a10+z*a20 .如果没有z*a20如何在矩阵中表示平移呢会麻烦很多

 

2.用齐次坐标表示无穷远处的点 是什么 是 (x,y,0) .

3.多个齐次坐标可对应一个笛卡尔系坐标

（1，2，3） （2，4，6）。。。。