赫夫曼树的原理、构建和java实现

何为赫夫曼树

1. 给定n个权值作为n个叶子结点，构造一棵二叉树，若该树的带权路径长度(wpl)达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称为哈夫曼树(Huffman Tree), 还有的书翻译为霍夫曼树。
2. 赫夫曼树是带权路径长度最短的树，权值较大的结点离根较近。

基本概念

1. 路径和路径长度：在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或孙子结点之间的通路，称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。若规定根结点的层数为1，则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1
2. 结点的权及带权路径长度：若将树中结点赋给一个有着某种含义的数值，则这个数值称为该结点的权。结点的带权路径长度为：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积
3. 树的带权路径长度：树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和，记为WPL(weighted path length) ,权值越大的结点离根结点越近的二叉树才是最优二叉树。
4. WPL最小的就是赫夫曼树
   
   例如上图2中，构建的即为赫夫曼树。

构建方法

1. 从小到大进行排序, 将每一个数据，每个数据都是一个节点 ， 每个节点可以看成是一颗最简单的二叉树
2. 取出根节点权值最小的两颗二叉树
3. 组成一颗新的二叉树, 该新的二叉树的根节点的权值是前面两颗二叉树根节点权值的和
4. 再将这颗新的二叉树，以根节点的权值大小参与排序，再次排序， 不断重复 1-2-3-4 的步骤，直到数列中，所有的数据都被处理，就得到一颗赫夫曼树

例如，以{13, 7, 8, 3, 29, 6, 1} 这个数组为例：

代码实现

代码已上传至GitHub

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.List;

public class HuffmanTree {

    private Node root;
    private int order = 0;

    /**
     * 霍夫曼树的构建方法
     * @param arr：这里我们传入的数组的元素就是每个节点的权值
     */
    public void build(int[] arr){
        // 把每个数据都当成节点
        Node[] nodes = new Node[arr.length];
        for (int i=0; i<arr.length; i++){
            nodes[i] = new Node(arr[i]);
        }

        // 对权值进行排序
        bubbleSort(nodes);
        // 这里将数组转化为list，方便下面的删除操作
        List<Node> list = new ArrayList<>(Arrays.asList(nodes));

        while (list.size() > 1){
            // 取出权值最小的两个节点，取出后从list中删除
            Node left = list.get(0);
            Node right = list.get(1);
            list.remove(left);
            list.remove(right);

            // 将权值最小的两个节点组成一个树，根节点的权值为两节点的权值之和
            root = new Node(left.val + right.val);
            root.left = left;
            root.right = right;

            // 将新建的树即根节点，放进list中，并保持有序
            int insert = 0;
            for (int i=0; i<list.size(); i++){
                if (root.val <= list.get(i).val){
                    break;
                }
                insert ++;
            }
            list.add(insert, root);

        }
    }

    /**
     * 冒泡排序，对Node数组按照权值排序
     * @param arr
     */
    public void bubbleSort(Node[] arr){
        Node temp;
        for (int n=0; n<arr.length; n++){
            for (int i=1; i<arr.length-n; i++){
                if (arr[i-1].val > arr[i].val){
                    temp = arr[i];
                    arr[i] = arr[i-1];
                    arr[i-1] = temp;
                }
            }
        }
    }

    /**
     * 中序遍历：打印整颗二叉树
     */
    public void show(){
        if (root == null){
            System.out.println("二叉树为空！！！");
            return;
        }

        showRecusion(root);

    }

    /**
     * 打印的递归体
     * @param node
     */
    private void showRecusion(Node node){
        // 一直向左递归，直到左叶子节点
        if (node.left != null){
            showRecusion(node.left);
        }
        // 然后开始回溯，打印父节点，接着打印右叶子节点，刚好符合二叉排序树的排序
        System.out.println(String.format("第一个%d数值为：%d", order, node.val));
        order ++;
        if (node.right != null){
            showRecusion(node.right);
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        HuffmanTree huffmanTree = new HuffmanTree();
        int[] arr = {13, 7, 8, 3, 29, 6, 1};

        huffmanTree.build(arr);
        huffmanTree.show();

    }
}


/**
 * 节点类
 */
class Node{
    public int val;
    public Node left = null;
    public Node right = null;

    public Node(int val){
        this.val = val;
    }
}

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