通过给定一组数据点并反求控制点的NURBS曲线插值生成Matlab编程实例
目录
- 0.引言
- 1.NURBS曲线方程
- 2.NURBS曲线插值生成
- 2.1 计算节点矢量
- 2.2 边界条件的确定
- 2.3 控制顶点的反算
- 3 Matlab编程实例
- 4 优化效率
- 参考文献
0.引言
非均匀有理B样条(NURBS)是几何造型的一个十分有用的工具，以其良好的特性越来越受到工程界的重视。它可以用统一的数学形式表示规则曲面与自由曲面；有操纵控制顶点及权因子，为各种形状设计提供了充分的灵活性，有强有力的几何配套技术，能用于设计、分析与处理等各个环节，是非有理B样条形式以及有理、非有理贝塞尔形式良好的推广。NURBS方法已成为IGES标准、STEP标准中描述产品几何形状的唯一方法。
NURBS曲线曲面在实际应用中可以分为两种形式：一种是已知控制点求解曲线曲面上的点，称为正算问题。另一种情况是已知曲线曲面上一组数据点，即型值点，求解曲线曲面的控制点，称为反算问题。在实际应用中，常常是给出一组离散的型值点，要求构造通过该型值点的曲线曲面，即所谓的曲线曲面插值。
1.NURBS曲线方程
NURBS曲线方程的表达式，有理分式表达：
式中：
其中， w i w_i wi ( i i i=0,1,…,n)称为权或者权因子，分别与控制顶点 d i ( i = 0 , 1 , . . . . . , n ) d_i(i=0,1,.....,n) di(i=0,1,.....,n)相对应。首末权因子 w 0 w_0 w0， w n > 0 w_n > 0 wn>0，其余 w i ≥ 0 w_i \ge 0 wi≥0 ，并且连续 k k k个权因子不能同时为零。顺序连接 d i d_i di形成控制多边形。 N i , k ( u ) {N}_{i,k}(u) Ni,k(u)是由节点矢量 U = [ u 0 , u 1 , … , u n + k + 1 ] U=[u_0,u_1,\ldots,u_{n+k+1}] U=[u0,u1,…,un+k+1] 计算确定的 k k k次规范 B 样条基函数， i i i表示序号， k k k是样条阶数， k = 3 k=3 k=3，即是三次曲线，。对于NURBS 曲线首尾数据点不相连的，也就是开曲线，通常取两端节点的重复度为 r = k + 1 r=k +1 r=k+1，即 u 0 = u 1 = … = u k u_0=u_{1}=\ldots =u_k u0=u1=…=uk ， u n + 1 = u n + 2 = … = u n + k + 1 u_{n+1}=u_{n+2}=\ldots =u_{n+k+1} un+1=un+2=…=un+k+1 。在很多实际应用中，端节点值常取0、1，故NURBS 曲线的定义域可表示为 u ∈ [ u k , u n + 1 ] ⊂ [ 0 , 1 ] u\in[u_k,u_{n+1}]\subset [0,1] u∈[uk,un+1]⊂[0,1] 。由此可得，当 n = k n = k n=k时， k k k次NURBS 曲线即退化为 k k k次有理Bézier 曲线，其节点矢量与同次有理Bézier 曲线的端点具有相同的几何性质。若首末权因子均不为零，即子 w 1 ， w n > 0 w_1，w_n > 0 w1，wn>0，则曲线首末端点分别与控制多边形首末顶点重合，同时曲线在该点处与控制多边形首末边相切。
2.NURBS曲线插值生成
给定一组数据点，即型值点，生成通过这些型值点的的NURBS曲线，称为曲线的反算，一般包括三个步骤：（1）计算节点矢量；（2）计算边界条件；（3）反算控制顶点。
2.1 计算节点矢量
若要让一条 K K K次NURBS 曲线通过一组给定的型值点 P i ( i = 0 , 1 , . . . . . , n ) P_i(i=0,1,.....,n) Pi(i=0,1,.....,n)，不仅要保证曲线的首末端点与型值点重合， 还应保证 P i P_i Pi依次与构造曲线定义域内的节点 u i + k ( i = 0 , 1 , . . . . . , n ) u_{i+k}(i=0,1,.....,n) ui+k(i=0,1,.....,n)一一对应。通常需要对型值点进行参数化处理，以确定型值点 P i P_i Pi的参数值 u i + k ( i = 0 , 1 , . . . . . , n ) u_{i+k}(i=0,1,.....,n) ui+k(i=0,1,.....,n)。具有 n + 1 n+1 n+1个型值点 P i P_i Pi的 k k k次NURBS曲线将由 n + 3 n+3 n+3个控制顶点 D i ( i = 0 , 1 , . . . . . , n , n + 1 , n + 2 ) D_i(i=0,1,.....,n,n+1,n+2) Di(i=0,1,.....,n,n+1,n+2)及其权因子 w i w_i wi以及节点矢量 U = [ u 0 , u 1 , … , u n + k + 3 ] U=[u_0,u_1,\ldots,u_{n+k+3}] U=[u0,u1,…,un+k+3]定义。节点矢量最后是 n + k + 3 n+k+3 n+k+3，是因为节点的数量要比控制顶点的数量多重复度 r = k + 1 r=k +1 r=k+1个，而控制顶点数量比型值点数量多2个，所以节点数量 = n + 2 + k + 1 = n + k + 3 =n+2+k+1=n+k+3 =n+2+k+1=n+k+3。首末节点的重复度 r = k + 1 r=k +1 r=k+1。前k+1个节点取值为0，后k+1个节点取值为1。
引入符号 △ \bigtriangleup △ ，将每个节点区间长度表示为： △ i = u i + 1 − u i \bigtriangleup_i=u_{i+1}-u_i △i=ui+1−ui。常用的参数化方法有以下几种，以三次曲线（ k = 3 k=3 k=3）为例：
（1）均匀参数化法
使节点在参数轴上呈现等距离分布，也就是应用向前差分表示每个节点区间的长度，即 △ i = u i + 1 − u i = \bigtriangleup_i=u_{i+1}-u_i= △i=ui+1−ui=正常数，为保证节点矢量在[0,1]的范围内，对节点规范化处理，保证 [ u 0 , u n ] = [ 0 , 1 ] [u_0,u_n]=[0,1] [u0,un]=[0,1]，具体的参数化方法为：
这种均匀参数化方法适用的类型仅为给定数据点的多边形各边（或弦长）接近相等的情形，具有一定的局限性。
（2）积累弦长参数化法
该方法克服了均匀参数化法的弊端，如若遇到数据点多边形各弦长分布不均匀时，应用该方法可以避免均匀参数化法出现的问题，并如实地表现出数据点依据多边形各弦长的分布情形，且能得到光顺性较好的插值曲线，是最常采用的参数化方法，该参数化方法满足：
（3）向心参数化法
这种参数化方法如实反映了数据点相邻弦线的折拐情况。
（4）修正弦长参数化法
这种参数化方法对绝对曲率较大，与实际弧长相比弦长又偏短的曲线段起到了修正的作用，且生成的插值曲线具有较好的光顺性。
2.2 边界条件的确定
下式表示的线性方程组由 n + 1 n +1 n+1个矢量方程组成，具有 n + 3 个 n +3个 n+3个未知控制顶点，上述方程组中的节点矢量 U = [ u 0 , u 1 , … , u n + k + 3 ] U=[u_0,u_1,\ldots,u_{n+k+3}] U=[u0,u1,…,un+k+3]已确定，但未知顶点数大于方程数，因此求解该方程组，需要增加两个适当的边界条件，而常用的边界条件有：（1）切矢条件；（2）自由端点条件；（3）闭曲线条件。常采用切矢条件。以三次曲线（ k = 3 k=3 k=3）为例进行说明。
（1）切矢条件
要求首末端点的切线方向固定:
式中： △ i = u i + 1 − u i \bigtriangleup_i=u_{i+1}-u_i △i=ui+1−ui， P 0 ′ P^{'}_0 P0′， P n ′ P^{'}_n Pn′为首末端点切矢。
（2）自由端点条件
自由端点条件要求首末端点具有零曲率：
（3）闭曲线条件
要求曲线首末端点重合且二阶连续：
2.3 控制顶点的反算
1、对于 c 2 c^2 c2 连续的NURBS 三次闭曲线，由于其首末数据点相重， n − 1 n-1 n−1 个方程足以求出 n + 1 n+1 n+1个控制顶点，所以NURBS 三次闭曲线控制顶点反算的矩阵表达式为:
式中： d i d_i di为控制顶点， △ i = u i + 1 − u i ( i = 0 , 1 , … , n − 2 ) \bigtriangleup_i=u_{i+1}-u_i (i=0,1,\ldots,n-2) △i=ui+1−ui(i=0,1,…,n−2)
2、对于NURBS 三次开曲线，则还需要添加两个边界条件满足的附加方程。NURBS 三次开曲线两端点的重复度取4，所以NURBS 三次曲线的首末控制顶点就是其首末端的型值点，即： d 0 = P 0 d_0=P_0 d0=P0 ， d n + 2 = P n d_{n+2}=P_n dn+2=Pn 。边界条件以切矢条件为例，应用矩阵的形式给出NURBS 三次开曲线控制顶点反算的表达式：
式中： d i d_i di为控制顶点， △ i = u i + 1 − u i ( i = 0 , 1 , … , n ) \bigtriangleup_i=u_{i+1}-u_i (i=0,1,\ldots,n) △i=ui+1−ui(i=0,1,…,n)，则：
求解上述线性方程组，即可得到所有未知的控制顶点。根据要求选取合适的权因子，即可最终确定NURBS 曲线的表达式。
3 Matlab编程实例
本程序既适用于二维平面曲线，也适用于三维空间曲线，且有良好的鲁棒性。
data1.txt
0 0
3 11
21 17
26 6
32 1
60 13
50 23
70 28
75 35
data2.txt
0 0 0
3 11 1
21 17 2
26 6 3
32 1 10
60 13 11
50 23 15
70 28 20
75 35 25
% 给定一组数据点，即型值点，反求其控制顶点，并构造通过这些型值点的2D或3D nurbs曲线，首末型值点与控制顶点重合，称为nurbs曲线插值
% 具有n个型值点的k次nurbs插值曲线，将有n+2个未知控制顶点，首末节点取重复度r=k+1,从而具有n+2+k+1个节点
% 三次Nurbs曲线的首末节点取重复度r=k+1=4，u1=u2=u3=u4=0,Un+3=Un+4=Un+5=Un+6=1
clear
pt=load('data2.txt');
[row,column]=size(pt); %每行代表一个型值点，采用列向量表示x,y,z坐标，便于线性方程组求解
n=length(pt); %型值点数量
k=3; %样条阶数
U=zeros(1,n+k+3); %节点矢量
%第一步：计算节点矢量********************
if(column == 2) % 2D curve
x=pt(:,1);
y=pt(:,2);
else % 3D curve
x=pt(:,1);
y=pt(:,2);
z=pt(:,3);
end
%n个数据点，利用规范积累弦长法进行型值点参数化处理
temp=zeros(1,n-1);
for i=1:n-1 %n个数据点，n-1段弦长
if(column == 2) % 2D curve
temp(i)=sqrt((x(i+1)-x(i))^2+(y(i+1)-y(i))^2);
else % 3D curve
temp(i)=sqrt((x(i+1)-x(i))^2+(y(i+1)-y(i))^2+(z(i+1)-z(i))^2);
end
end
sumtemp=sum(temp);%顺序相邻两型值点之间距离的和,即总弦长
for i=1:k+1 %前k+1个节点为0
U(i)=0;
end
for i=n+k:n+k+3 %后k+1个节点为1
U(i)=1;
end
%n个数据点，内节点为n-2个，U(k+1)作为初始值
for i=k+1:n+k-2
U(i+1)=U(i)+temp(i-k)/sumtemp; %n-1段弦长，U（k+1）到U（n+k）共n个节点
end
%第二步：反算n+2个控制点，采用切矢边界*****************************
%控制顶点的首末端点和给定型值点的首末端点重合
if(column == 2)
dpt1=[0 1];%给定首数据点切矢
dptn=[-1 0];%给定末数据点切矢
else
dpt1=[0 0 1];%给定首数据点切矢
dptn=[-1 0 0];%给定末数据点切矢
end
dU=zeros(1,n+k+3); %节点增量，△U=Ui+1-Ui
for i=k+1:n+k-1
dU(i)=U(i+1)-U(i);
end
%求解线性方程组获得控制顶点向量，A*D=E,A为系数矩阵，元素为B样条基函数的值；D是控制顶点列向量；E是列向量
A=zeros(n);
if(column == 2)
E=zeros(n,2); %2D curve
else
E=zeros(n,3); %3D curve
end
A(1,1)=1; %切矢条件a1=1,b1=c1=0
A(n,n)=1; %切矢条件an=bn=0,cn=1
E(1,:)=pt(1,:)+(dU(4)/3)*dpt1; %首端点条件
E(n,:)=pt(n,:)-(dU(n+2)/3)*dptn; %末端点条件
%计算系数矩阵A的元素a,b,c以及列向量E的元素e的值
for i=2:n-1
A(i,i-1)=dU(i+3).^2/(dU(i+1)+dU(i+2)+dU(i+3)); %a的值
A(i,i)=dU(i+3)*(dU(i+1)+dU(i+2))/(dU(i+1)+dU(i+2)+dU(i+3))+... %b的值
dU(i+2)*(dU(i+3)+dU(i+4))/(dU(i+2)+dU(i+3)+dU(i+4));
A(i,i+1)=dU(i+2).^2/(dU(i+2)+dU(i+3)+dU(i+4)); %c的值
E(i,:)=(dU(i+2)+dU(i+3))*pt(i,:); %e的值
end
D=A\E; %解方程组，获得去除首末端点的控制顶点向量
D=[pt(1,:);D;pt(n,:)]; %控制顶点向量，控制顶点比数据点多两个，加上首末端点
[s,t]=size(D); %s：控制点数量
%第三步：求出Nurbs曲线*****************************
dt=0.001; %Nurbs曲线插值密度，dt越小，越光滑
P=[]; %Nurbs曲线
syms dx; %定义节点间的递增变量为变量dx
for i=k+1:s
u=U;
d=sym(D);
%每次迭代后将d恢复初值
for m=1:k
for j=i-k:i-m
alpha(j)=(dx-u(j+m))/(u(j+k+1)-u(j+m));
d(j,:)=(1-alpha(j))*d(j,:)+alpha(j)*d(j+1,:);
end
end
%带入变量dx求出各节点区间[ui,ui+1]内m=3的控制点d
M=subs(d(i-k,:),dx,(u(i):dt:(u(i+1)-dt))'); %节点区间内的插值点替换dx
P=[P;double(M)];
end
M=subs(d(s-k,:),dx,1);
P=[P;double(M)];%补上最后一个点
%第四步、绘制给定型值点、控制点及其Nurbs曲线*****************************
if(column == 2) %2D curve
plot(pt(:,1),pt(:,2),'*r'); %绘制型值点
hold on;
plot(D(:,1),D(:,2),'b-o'); %绘制控制点
hold on;
plot(P(:,1),P(:,2),'r'); %绘制nurbs曲线
hold on;
else %3D curve
plot3(pt(:,1),pt(:,2),pt(:,3),'*r'); %绘制型值点
hold on;
plot3(D(:,1),D(:,2),D(:,3),'b-o'); %绘制控制点
hold on;
plot3(P(:,1),P(:,2),P(:,3),'r'); %绘制nurbs曲线
hold on;
end
axis equal;
grid on;
二维NURBS曲线插值：
三维NURBS曲线插值:
4 优化效率
上述程序在反求出控制点和节点矢量后，进行NURBS曲线生成时的效率较低，如果数据点过多，会十分影响运行速度，为此可以调用外部库函数提高NURBS曲线生成效率。这里使用的是 D.M. Spink提供的NURBS Toolbox，里面有大量的关于NURBS的函数。
%nurbs_toolbox库调用实例
%注释掉程序第三步的求解nurbs曲线的代码，运行以下代码，并修改第四步代码，使用nurbs_toolbox库函数绘制nurbs曲线函数
%使用nurbs_toolbox库函数nrbmak(coefs,knots)生成nurbs曲线，coefs是控制点向量；knots是节点向量
pts=[D(:,1)';D(:,2)';D(:,3)'];%nrbmak函数采用的行向量存储x,y,z坐标，上述程序是采用列向量存储x,y,z坐标，在此进行转换
crv=nrbmak(pts,U);
nrbplot(crv,1000); %第二个参数是插值点的数量，值越大，则nurbs曲线越光滑
%第四步、绘制给定型值点、控制点及其Nurbs曲线*****************************
if(column == 2) %2D curve
plot(pt(:,1),pt(:,2),'*r'); %绘制型值点
hold on;
plot(D(:,1),D(:,2),'b-o'); %绘制控制点
hold on;
% plot(P(:,1),P(:,2),'r'); %绘制nurbs曲线
nrbplot(crv,1000); %使用nurbs_toolbox库函数绘制nurbs曲线
hold on;
else %3D curve
plot3(pt(:,1),pt(:,2),pt(:,3),'*r'); %绘制型值点
hold on;
plot3(D(:,1),D(:,2),D(:,3),'b-o'); %绘制控制点
hold on;
% plot3(P(:,1),P(:,2),P(:,3),'r'); %绘制nurbs曲线
nrbplot(crv,1000); %使用nurbs_toolbox库函数绘制nurbs曲线
hold on;
end
参考文献
1、叶丽, 谢明红. 采用用积累弦长法拟合3次NURBS曲线[J]. 华侨大学学报(自然科学版), 2010, 31(4): 383-387
2、彭小军. 曲线曲面的NURBS 造型技术与数控仿真[D]. 西安: 长安大学, 2013
3、陈燕丽. NURBS复杂自由曲面造型方法的研究[D]. 西安: 长安大学, 2014