复变函数——学习笔记1：复数及复平面

复数域

复数：形如$z=x+yi$的数，$i$称为虚数单位，$i^2=-1$，$x$称为实部，记为$Re(z)=x$，$y$称为虚部，记为$Im(z)=y$。
复数相等：当且仅当两个复数实部和虚部对应相等
虚数：虚部不为的0的复数
纯虚数：实部为0的虚数
复数运算：复数的加减法定义为实部和虚部对应相加减，复数的乘法按照多项式法则进行，$z_1=a+bi,z_2=c+di$，则$$z_1{z}_2=ac-bd+(ad+bc)i$$
除法定义为乘法的逆运算，首先
$$(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$$ $z_1=a+bi,z_2=c+di,z_2\ne 0$，则$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1(c-di)}{z_2(c-di)}=\frac{ac+bd+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$$
实数域的运算规律复数域也成立
(1)加法交换律：$z_1+z_2=z_2+z_1$
(2)加法结合律：$z_1+z_2+z_3=z_1+(z_2+z_3)$
(3)存在零元：$z+0=z$
(4)存在相反元：$z+(-z)=0$
(5)乘法交换律：$z_1{z}_2=z_2{z}_1$
(6)乘法结合律：$z_1{z}_2{z}_3=z_1(z_2{z}_3)$
(7)乘法分配律：$z_1(z_2+z_3)=z_1{z}_2+z_1{z}_3$
(8)存在单位元:$1.z=z$
(9)存在逆元:$z\ne 0,z.\frac{1}{z}=1$
引入上述的运算，再辅以以上的运算规律后，全体复数构成复数域，用字母$C$表示

复平面

一个复数与一个实数对一一对应，从而复数与二维平面上的点构成一一对应的关系，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴，这样表示复数$z$的平面称为复平面
引入复平面的意义在于建议数和点的联系，从而可以借助几何直观或几何术语来研究复变函数，复数也常常用于解决许多平面上的问题。

复数的模：我们把复数$x+yi$对应复平面上的向量$(x,y)$的长度$\sqrt{x^2+y^2}$称为复数的模，记为$|x+yi|$
复数的幅角：若$z=x+yi\ne 0$，我们把满足$$\begin{gathered} \cos \theta =\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ \sin \theta =\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{gathered}$$的所有$\theta$称为复数$z$的幅角，记为$Arg(z)$，显然这样的$\theta$有无穷多个，满足$-\pi <\theta \le \pi$的幅角称为主幅，或称幅角的主值，记为$\arg (z)$，下图表示这两个概念的几何意义：

容易验证，复数的模满足性质：$|z_1{z}_2|=|z_1||z_2|$。
共轭复数：$z=x+yi$，则$z$的共轭复数定义为$\overline{z}=x-yi$，显然$$z\overline{z}=x^2+y^2=|z{|}^2$$容易验证共轭复数有如下性质$\overline{z_1{z}_2}=\overline{z_1}.\overline{z_2}$
复数的除法：$z_2\ne 0$，则$\frac{z_1}{z_2}$为$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\overline{z_2}}{|z_2{|}^2}$$复数的三角形式：有了复数的模$r=|z|$和幅角$\theta =Argz$，则复数可以表示为$$z=r\cos \theta +r\sin \theta i$$相当于把复数写成极坐标的形式
复数的指数形式：定义欧拉公式为$e^{\theta i}=\cos \theta +\sin \theta i$，则复数又可以写成指数形式$$z=|z|e^{Argz.i}$$实际上，这种形式对计算复数的乘法起到很大的作用$$\begin{array}{rl}& e^{{\theta }_{1}i}.e^{{\theta }_{2}i}=(\cos {\theta }_1+\sin {\theta }_{1}i)(\cos {\theta }_2+\sin {\theta }_{2}i)\\ =& \cos {\theta }_1\cos {\theta }_2-\sin {\theta }_1\sin {\theta }_2+(\cos {\theta }_1\sin {\theta }_2+\cos {\theta }_2\sin {\theta }_1)i\\ =& \cos ({\theta }_1+{\theta }_2)+\sin ({\theta }_1+{\theta }_2)i=e^{({\theta }_1+{\theta }_2)i}\end{array}$$也就是说，欧拉公式保留了实数域上指数的性质，要计算$z_1{z}_2$，将$z_1,z_2$写成指数形式$$z_1=r_1{e}^{{\theta }_{1}i},z_2=r_2{e}^{{\theta }_{2}i}$$则$$z_1{z}_2=r_1{r}_2{e}^{{\theta }_{1}i}{e}^{{\theta }_{2}i}=(r_1{r}_2)(e^{{\theta }_{1}i}{e}^{{\theta }_{2}i})=(r_1{r}_2)e^{({\theta }_1+{\theta }_2)i}$$有了欧拉公式，复数的共轭复数也可以很方便地表示出来$$e^{-\theta i}=\cos \theta -\sin \theta i=\overline{e^{\theta i}}$$则$$\frac{r_1{e}^{{\theta }_{1}i}}{r_2{e}^{{\theta }_{2}i}}=\frac{r_1{e}^{{\theta }_{1}i}{e}^{-{\theta }_{2}i}}{r_2}=\frac{r_1{e}^{({\theta }_1-{\theta }_2)i}}{r_2}$$由以上的表示法，可以看出，复数乘法的本质是：对复数进行伸缩和旋转变换，旋转变换体现在乘以$e^{{\theta }_{2}i}$上，伸缩变换体现在乘以$r_2$上。
复数的三角不等式：$|x+y|\le |x|+|y|$
棣莫弗公式：$(\cos \theta +\sin \theta .i{)}^n=\cos (n\theta )+\sin (n\theta )i$
这结合复数的指数形式及数学归纳法容易证明。

例1.1（棣莫弗公式证明三角恒等式）证明$$\sum _{k=0}^n\cos k\theta =\frac{\sin \frac{(n+1)\theta }{2}\cos \frac{n\theta }{2}}{\sin \frac{\theta }{2}}$$

证：
$$e^{k\theta i}=\cos k\theta +i\sin k\theta$$则$$\sum _{k=0}^n{e}^{k\theta i}=\frac{1-e^{(n+1)\theta i}}{1-e^{\theta i}}=\sum _{k=0}^n\cos k\theta +i\sum _{k=0}^n\sin k\theta$$则$$Re(\frac{1-e^{(n+1)\theta i}}{1-e^{\theta i}})=\sum _{k=0}^n\cos k\theta$$而$$\begin{array}{rl}& \frac{1-e^{(n+1)\theta i}}{1-e^{\theta i}}=\frac{{\sin }^2\frac{(n+1)\theta }{2}-\sin \frac{(n+1)\theta }{2}\cos \frac{(n+1)\theta }{2}.i}{{\sin }^2\frac{\theta }{2}-\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}.i}\\ =& \frac{\sin \frac{(n+1)\theta }{2}{e}^{-\frac{(n+1)\theta i}{2}}}{\sin \frac{\theta }{2}{e}^{-\frac{\theta i}{2}}}=\frac{\sin \frac{(n+1)\theta }{2}{e}^{-\frac{n\theta }{2}}}{\sin \frac{\theta }{2}}\end{array}$$因此$$\sum _{k=0}^n\cos k\theta =\frac{\sin \frac{(n+1)\theta }{2}\cos \frac{n\theta }{2}}{\sin \frac{\theta }{2}}$$

例1.2 求方程$z^n=1$的根

解：
首先由$z^n=1$，就有$|z{|}^n=1$，故$|z|=1$，设$e^{\theta i}$为方程的根，则$$e^{n\theta i}=1$$则可以推出$$n\theta =2k\pi ,k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots$$则方程的根为$$e^{\frac{2k\pi }{n}}(k=0,1,\cdots ,n-1)$$这$n$个根的几何意义为$(0,1)$逆时针旋转$\frac{2\pi }{n}$，旋转$n-1$次得到的向量，这$n$个根将单位圆$n$等分。

例1.3 求方程$z^n=z_0$的根

解：
设$z_0=r{e}^{\theta i}$，$z=\rho e^{\gamma i}$，则$z^n={\rho }^n{e}^{n\gamma i}$，因此$$\begin{array}{rl}r=& {\rho }^n\\ n\gamma =& \theta +2k\pi (k=0,\pm 1,\cdots )\end{array}$$则$$\begin{array}{rlr}\rho =& \sqrt[n]{r}& \\ \gamma =& \frac{\theta }{n}+\frac{2k\pi }{n}(k=0,\pm 1,\cdots )& \end{array}$$在复数域，对某一个复数$z_0$进行开根，首先，将$z_0$的模开$n$次方根，其次，选定一个幅角$Arg{z}_0=\theta$，将其除以$n$，得到其中一个根，将其依次逆时针旋转$\frac{2\pi }{n}$,旋转$n-1$次，就可以得到其他$n-1$个根，所有的根为$$\sqrt[n]{r}{e}^{(\frac{Arg{z}_0}{n}+\frac{2k\pi }{n})i}(k=0,\cdots ,n-1)$$其几何意义如下，如开六次方根，只要选定一个幅角，确定了其中一个根后，其次旋转就可以得到其他根，所有根将单位元六等分。

例1.4 利用$(z+1{)}^n=1$的$n-1$个非零根的乘积，证明$$\prod _{k=1}^n\sin \frac{k\pi }{n}=\frac{n}{2^{n-1}}$$

证：
$(z+1{)}^n=1$的$n$个根为$z_k=e^{\frac{2k\pi }{n}}-1(k=1,\cdots ,n)$，其中$z_1=0$，则由二项式定理，有$$(z+1{)}^n-1=z^n+\cdots +nz=z(z-z_2)\cdots (z-z_n)$$故$$(-1{)}^{n-1}\prod _{k=2}^n{z}_k=n$$而对$k=2,\cdots ,n$，有$$z_k=e^{\frac{2k\pi i}{n}}-1=-2{\sin }^2(\frac{k\pi }{n})+2\sin (\frac{k\pi }{n})\cos (\frac{k\pi }{n})i$$就得到$$\begin{array}{rl}& (-1{)}^{n-1}\prod _{k=2}^n{z}_k=2^{n-1}\prod _{k=1}^{n-1}\sin (\frac{k\pi }{n})\prod _{k=1}^{n-1}[\sin (\frac{k\pi }{n})-\cos (\frac{k\pi }{n})i]=n\end{array}$$故$$\left|2^{n-1}\prod _{k=1}^{n-1}\sin (\frac{k\pi }{n})\prod _{k=1}^{n-1}[\sin (\frac{k\pi }{n})-\cos (\frac{k\pi }{n})i]\right|=2^{n-1}\prod _{k=1}^{n-1}\sin (\frac{k\pi }{n})=n$$即可证得不等式

例1.5 （复数域上的柯西不等式）设$z_1,\cdots ,z_n,{\omega }_1,\cdots ,{\omega }_n\in C$.证明拉格朗日等式：$${\left|\sum _{j=1}^n{z}_j{\omega }_j\right|}^2=(\sum _{j=1}^n|z_j{|}^2)(\sum _{j=1}^n|{\omega }_j{|}^2)-\sum _{1\le j<k\le n}{\left|z_j\overline{{\omega }_k}-z_k\overline{{\omega }_j}\right|}^2$$由此证明柯西不等式：$${\left|\sum _{j=1}^n{z}_j{\omega }_j\right|}^2\le (\sum _{j=1}^n{\left|z_j\right|}^2)(\sum _{j=1}^n{\left|{\omega }_j\right|}^2)$$

证：
令$z=(z_1,\cdots ,z_n{)}^T,\omega =({\omega }_1,\cdots ,{\omega }_n{)}^T$，则$${\left|\sum _{j=1}^n{z}_j{\omega }_j\right|}^2=\sum _{j=1}^n{z}_j{\omega }_j\overline{(\sum _{j=1}^n{z}_j{\omega }_j)}=z^{T}w\overline{w^T}\overline{z}=\sum _{k=1}^n\sum _{j=1}^n{z}_k{\omega }_k\overline{{\omega }_j}\overline{z_j}$$对于$j<k$，有$$\begin{array}{rl}& |z_j\overline{{\omega }_k}-z_k\overline{{\omega }_j}{|}^2=(z_j\overline{{\omega }_k}-z_k\overline{{\omega }_j})\overline{(z_j\overline{{\omega }_k}-z_k\overline{{\omega }_j})}\\ =& (z_j\overline{{\omega }_k}-z_k\overline{{\omega }_j})(\overline{z_j}{\omega }_k-\overline{z_k}{\omega }_j)\\ =& z_j\overline{z_j}\overline{{\omega }_k}{\omega }_k+z_k\overline{z_k}\overline{{\omega }_j}{\omega }_j-z_j{\omega }_j\overline{{\omega }_k{z}_k}-z_k{\omega }_k\overline{{\omega }_j{z}_j}\end{array}$$因此$$\begin{array}{rl}& z_j{\omega }_j\overline{{\omega }_k{z}_k}+z_k{\omega }_k\overline{{\omega }_j{z}_j}\\ =& |z_j{|}^2|{\omega }_k{|}^2+|z_k{|}^2|{\omega }_j{|}^2-|z_j\overline{{\omega }_k}-z_k\overline{{\omega }_j}{|}^2\end{array}$$于是$$\begin{array}{rl}& {\left|\sum _{j=1}^n{z}_j{\omega }_j\right|}^2=\sum _{k=1}^n\sum _{j=1}^n{z}_k{\omega }_k\overline{{\omega }_j}\overline{z_j}=\\ =& \sum _{k=1}^n|z_k{|}^2|{\omega }_k{|}^2+\sum _{1\le j<k\le n}(|z_j{|}^2|{\omega }_k{|}^2+|z_k{|}^2|{\omega }_j{|}^2-|z_j\overline{{\omega }_k}-z_k\overline{{\omega }_j}{|}^2)\\ =& \sum _{k=1}^n|z_k{|}^2|{\omega }_k{|}^2+\sum _{k=1}^n\sum _{j\ne k,1\le j\le n}|z_k{|}^2|{\omega }_j{|}^2-\sum _{1\le j<k\le n}|z_j\overline{{\omega }_k}-z_k\overline{{\omega }_j}{|}^2\\ =& \sum _{k=1}^n|z_k{|}^2\sum _{j=1}^n|{\omega }_j{|}^2-\sum _{1\le j<k\le n}|z_j\overline{{\omega }_k}-z_k\overline{{\omega }_j}{|}^2\end{array}$$这就证得了拉格朗日等式，由拉格朗日等式容易得到柯西不等式

例1.6（复数的几何应用：曲线的复数方程） 证明：$z$平面上的直线方程可以写成$$a\overline{z}+\overline{a}z=c$$其中$a$是非零复常数，$c$是实常数

证：
平面上的直线方程为$\alpha x+\beta y+c=0$，令$a=\alpha +\beta i$，$z=x+yi$，则容易验证$$\frac{a\overline{z}+\overline{a}z}{2}+c=0$$

复球面

现在，我们在复平面的基础上再加一个维度，复平面位于$Oxy$平面，做单位球面$S:x^2+y^2+z^2=1$，连接球面的北极$N(0,0,1)$及复平面上一点$A$，交球面于另一点$A^{\prime }$，这样，我们可以建立复平面到球面的一个映射：
$$\begin{array}{rlrl}f:& Oxy& \to & S\\ & A& \mapsto & A^{\prime }\end{array}$$再记北极点为$\infty$，$C_{\infty }=C\cup \{\infty \}$称为扩充复平面，$f$是$C_{\infty }$到单位球面的一一映射。对于任意的$z=x+yi\in C$，如果$|z|=1$，映射到球面上是位于赤道线上，坐标为$(x,y,0)$。如果$|z|\ne 1$，则映射到球面上的位置是上半球面或下半球面。对$A{A}^{\prime }=(x^{\prime }-x,y^{\prime }-y,z^{\prime })$，$AN=(-x,-y,1)$，由于两个空间向量共线，则有$$\{\begin{array}{l}x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime }=0\\ x^{\prime }+x{z}^{\prime }=x\\ y^{\prime }+y{z}^{\prime }=y\end{array}$$方程组的通解为$(kx,ky,1-k)$，再由$A^{\prime }$位于单位球面上，解得$k=0$或$k=\frac{2}{x^2+y^2+1}$，令$k=\frac{2}{x^2+y^2+1}$，代入，就可以得到$A^{\prime }$的坐标$(\frac{2x}{x^2+y^2+1},\frac{2y}{x^2+y^2+1},\frac{x^2+y^2-1}{x^2+y^2+1})$。对于复数$z$，其在复球面的坐标为$(\frac{z+\overline{z}}{|z{|}^2+1},\frac{z-\overline{z}}{|z{|}^2+1},\frac{|z{|}^2-1}{|z{|}^2+1})$
对于扩充复平面，我们规定：
(1)$\alpha \pm \infty =\infty \pm \alpha =\infty$，其中$\alpha$为有限复数
(2)$\alpha \infty =\infty \alpha =\infty$，其中$\alpha \ne 0$
(3)$\alpha /\infty =0$($\alpha \ne \infty$),$\alpha /0=\infty$($\alpha \ne \infty$)
(4)$\infty \pm \infty$,$0.\infty$,$\infty .0$,$0/0$,$\infty /\infty$均无意义

复平面上的拓扑

复平面上的拓扑均可以平行于$R^2$建立起来，我们下面列举复平面和扩充复平面上的拓扑（证明和欧式空间是类似的，因此不给出证明），需要注意的是，扩充复平面上的有些概念和复平面上略有不同，需要加以区分。

邻域：对复数$z_0$及正数$\delta >0$，称集合$B(z_0,\delta )=\{z:|z-z_0|<\delta \}$为$z_0$的半径为$\delta$的邻域

点列极限：$\{z_n\}$是一列复数，如果存在复数$z_0$，如果对于任意的$\epsilon >0$，存在$N$，$n\ge N$时，都有$$|z_n-z_0|<\epsilon$$则称$\{z_n\}$收敛，$z_0$是$\{z_n\}$的极限，记为$\underset{n\to \infty }{\lim }{z}_n=z_0$
如果记$z_n=x_n+y_{n}i(n=1,2,\cdots ),z_0=x_0+y_{0}i$，则$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=x_0$的充要条件是$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=x_0,\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=y_0$

点与点集的关系：对$E\subset C$及点$z_0$
(1)$\exists \delta >0,B(z_0,\delta )\subseteq E$，则称$z_0$为$E$的内点，全体内点的集合称为$E$的内部，记为$E^{\circ }$
(2)$\exists \delta >0,B(z_0,\delta )\subseteq E^c$，则称$z_0$为$E$的外点，全体外点的集合称为$E$的外部
(3)$\forall \delta >0,B(z_0,\delta )\cap E\ne \varnothing ,B(z_0,\delta )\cap E^c\ne \varnothing$，则称$z_0$为$E$的边界点，全体$E$的边界点记为$\overline{E}$

开集：$E$的每一点都是其内点，则称$E$是开集，$C,\varnothing$都是开集，任意个开集的并是开集，有限个开集的交是开集

闭集：开集的余集是闭集，$C,\varnothing$都是闭集，任意个闭集的交是闭集，有限个闭集的并是闭集

聚点：如果$z_0$的任意邻域都有$E/\{z_0\}$的点，则称$z_0$是$E$的聚点，如果$z_0$是$E$的聚点，则存在点列$\{z_n\}\subseteq E/\{z_0\}$，满足$\underset{n\to \infty }{\lim }{z}_n=z_0$，称$E$的全体聚点构成的集合为$E$的导集，记为$E^{\prime }$

闭包：$E$和其导集的并集称为$E$的闭包，记为$\overline{E}$，任何集合的闭包都是闭集，并且$\overline{E}=E^{\circ }\cup \partial E$

连通集：如果对$E$内任意两点$z_1,z_2$，都有完全包含在$E$内的连接$z_1,z_2$两点的折线，则称$E$是连通集

区域：连通的开集称为区域，区域的闭包称为闭区域

连续曲线：$z=z(t)=x(t)+y(t)i,\alpha \le t\le \beta$，如果$x(t),y(t)$都是$[\alpha ,\beta ]$上的连续函数，则称$z=z(t),\alpha \le t\le \beta$是复平面上的一条连续曲线

简单曲线（若尔当曲线）：如果连续曲线$z=z(t),a\le t\le b$没有重合点，则称$z=z(t)$为简单曲线，如果$z=z(t)$除起止点外没有重合点，而$z(a)=z(b)$，则称$z=z(t),a\le t\le b$为简单闭曲线或若尔当闭曲线

若尔当定理：对于任意的$C$上的简单闭曲线$L$，存在有界区域$D_1$和无界区域$D_2$，$D_1,D_2$以$L$为边界，$D_1$称为$L$的内区域，$D_2$称为$L$的外区域

单连通区域：如果$D$内任意简单闭曲线的内区域都完全包含在$D$内，则称$D$是单连通区域，从几何直观讲，单连通区域即是内部没有“洞”的区域，不是单连通区域的区域称为多连通区域

扩充复平面上的邻域：规定$\infty$的邻域为$\{z:|z|>\infty \}\cup \{\infty \}$

扩充复平面上的单连通区域：对于扩充复平面上的单连通的定义，我们需要作一个小的修正，即任意的$D$内的简单闭曲线$L$，$L$的内区域或外区域完全包含在$D$内，在这个定义下$\{z:|z|>r\}$不是单连通的，$\{z:|z|>r\}\cup \{\infty \}$是单连通的

闭集套定理：定义点集$E$的直径为$diam(E)=\underset{z_1,z_2\in E}{\sup }|z_1-z_2|$，对于$C$上的闭集列$\{E_n\}$，如果满足$E_{n+1}\subseteq E_n(n=1,2,\cdots )$，并且$\underset{n\to \infty }{\lim }diam(E_n)=0$，则存在唯一的复数$z_0$，满足$z_0\in \bigcap _{n=1}^{\infty }{E}_n$

有限覆盖定理：$E$是$C$的有界闭集，$\{G_t,t\in I\}$是一列开集，满足$$E\subseteq \bigcup _{t\in I}{G}_t$$则存在$t_1,\cdots ,t_n\in I$，满足$$E\subseteq \bigcup _{k=1}^n{G}_{t_k}$$

魏尔斯特拉斯定理：有界复数列必存在收敛子列

柯西收敛原理：$C$上的柯西列都是收敛列