第六章 图
6.1 图的逻辑结构
6.1.1图的定义和逻辑结构
1.图的定义
图是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：
G=(V，E)
其中：G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中顶点之间边的集合。
在线性表中，元素个数可以为零，称为空表；
在树中，结点个数可以为零，称为空树；
在图中，顶点个数不能为零，但可以没有边。
如果图的任意两个顶点之间的边都是无向边，则称该图为无向图。
如果图的任意两个顶点之间的边都是有向边，则称该图为有向图。
2.图的基本术语
简单图：在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现。
（1）线性结构
在线性结构中，数据元素之间仅具有线性关系；
在树结构中，结点之间具有层次关系；
在图结构中，任意两个顶点之间都可能有关系
(2)无向完全图和有向完全图
无向完全图：在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。
有向完全图：在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧，则称该图为有向完全图。
（3）稠密图和稀疏图
稀疏图：称边数很少的图为稀疏图；
稠密图：称边数很多的图为稠密图
（4）顶点地度。入读。出度
。顶点的度：在无向图中，顶点v的度是指依附于该顶点的边数，通常记为TD (v)。
顶点的入度：在有向图中，顶点v的入度是指以该顶点为弧头的弧的数目，记为ID (v)；
顶点的出度：在有向图中，顶点v的出度是指以该顶点为弧尾的弧的数目，记为OD (v)。
（5）权。网
权：是指对边赋予的有意义的数值量。
网：边上带权的图，也称网图
（6）路。路径长度。回路
路径：在无向图G=(V, E)中，从顶点vp到顶点vq之间的路径是一个顶点序列(vp=vi0,vi1,vi2, …, vim=vq)，其中，(vij-1,vij)∈E（1≤j≤m）。若G是有向图，则路径也是有方向的，顶点序列满足<vij-1,vij>∈E。
回路（环）：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径。
简单路径：序列中顶点不重复出现的路径。
简单回路（简单环）：除了第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路。
（7）连通图。连通分量
连通图：在无向图中，如果从一个顶点vi到另一个顶点vj(i≠j)有路径，则称顶点vi和vj是连通的。如果图中任意两个顶点都是连通的，则称该图是连通图。
连通分量：非连通图的极大连通子图称为连通分量
（8）强连通图。强连通分量
强连通图：在有向图中，对图中任意一对顶点vi和vj (i≠j)，若从顶点vi到顶点vj和从顶点vj到顶点vi均有路径，则称该有向图是强连通图。
强连通分量：非强连通图的极大强连通子图。
（9）生成树。生成森林
生成树：n个顶点的连通图G的生成树是包含G中全部顶点的一个极小连通子图。
生成森林：在非连通图中，由每个连通分量都可以得到一棵生成树，这些连通分量的生成树就组成了一个非连通图的生成森林。
6.2图的存储结构和实现
6.2.2 邻接表
1.构造函数
ALGraph算法
template
ALGraph
{
vertexNum = n; arcNum = e;
for (i = 0; i < vertexNum; i++)
{ //输入顶点信息，初始化顶点表
adjlist[i].vertex = a[i];
adjlist[i].firstedge = NULL;
}
for (k = 0; k < arcNum; k++) //输入边的信息存储在边表中
{
cin>>i>>j;
s = new ArcNode; s->adjvex = j;
s->next = adjlist[i].firstedge;
adjlist[i].firstedge = s;
}
}
2.深度优先遍历算法
template
void ALGraph
{
cout << adjlist[v].vertex; visited[v] = 1;
p = adjlist[v].firstedge; //工作指针p指向顶点v的边表
while (p != NULL) //依次搜索顶点v的邻接点j
{
j = p->adjvex;
if (visited[j] == 0) DFSTraverse(j);
p = p->next;
}
}
3.广度优先遍历算法
template
void ALGraph
{
front = rear = -1; //初始化顺序队列
cout << adjlist[v].vertex; visited[v] = 1; Q[++rear] = v;
while (front != rear) //当队列非空时
{
v = Q[++front];
p = adjlist[v].firstarc; //工作指针p指向顶点v的边表
while (p != NULL)
{
j = p->adjvex;
if (visited[j] == 0) {
cout << adjlist[j].vertex; visited[j] = 1;Q[++rear] = j;
}
p=p->next;
}
}
}
6.3最小生成树
6.3.最小生成树的定义
生成树的代价：设G = (V, E)是一个无向连通网，生成树上各边的权值之和称为该生成树的代价。
最小生成树：在图G所有生成树中，代价最小的生成树称为最小生成树。
6.4最短路径
在非网图中，最短路径是指两顶点之间经历的边数最少的路径。
在网图中，最短路径是指两顶点之间经历的边上权值之和最短的路径。
问题描述：给定带权有向图G＝(V, E)和源点v∈V，求从v到G中其余各顶点的最短路径。
应用实例——计算机网络传输的问题：怎样找到一种最经济的方式，从一台计算机向网上所有其它计算机发送一条消息。
图的存储结构：带权的邻接矩阵存储结构
数组dist[n]：每个分量dist[i]表示当前所找到的从始点v到终点vi的最短路径的长度。初态为：若从v到vi有弧，则dist[i]为弧上权值；否则置dist[i]为∞。
数组path[n]：path[i]是一个字符串，表示当前所找到的从始点v到终点vi的最短路径。初态为：若从v到vi有弧，则path[i]为vvi；否则置path[i]空串。
数组s[n]：存放源点和已经生成的终点，其初态为只有一个源点v。