第六章 图

6.1  图的逻辑结构

6.1.1图的定义和逻辑结构

1.图的定义

图是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成,通常表示为:

                           G=(VE)

其中:G表示一个图,V是图G中顶点的集合,E是图G中顶点之间边的集合。

在线性表中,元素个数可以为零,称为空表;

在树中,结点个数可以为零,称为空树;

在图中,顶点个数不能为零,但可以没有边。

如果图的任意两个顶点之间的边都是无向边,则称该图为无向图。

如果图的任意两个顶点之间的边都是有向边,则称该图为有向图。

2.图的基本术语

简单图:在图中,若不存在顶点到其自身的边,且同一条边不重复出现。

1)线性结构

在线性结构中,数据元素之间仅具有线性关系;

在树结构中,结点之间具有层次关系;

在图结构中,任意两个顶点之间都可能有关系

(2)无向完全图和有向完全图

无向完全图:在无向图中,如果任意两个顶点之间都存在边,则称该图为无向完全图。

有向完全图:在有向图中,如果任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧,则称该图为有向完全图。

3)稠密图和稀疏图

  稀疏图:称边数很少的图为稀疏图;

稠密图:称边数很多的图为稠密图

4)顶点地度。入读。出度

。顶点的度:在无向图中,顶点v的度是指依附于该顶点的边数,通常记为TD (v)

顶点的入度:在有向图中,顶点v的入度是指以该顶点为弧头的弧的数目,记为ID (v)

顶点的出度:在有向图中,顶点v的出度是指以该顶点为弧尾的弧的数目,记为OD (v)

5)权。网

权:是指对边赋予的有意义的数值量。

网:边上带权的图,也称网图

6)路。路径长度。回路

路径:在无向图G=(V, E)中,从顶点vp到顶点vq之间的路径是一个顶点序列(vp=vi0,vi1,vi2, …, vim=vq),其中,(vij-1,vij)E1jm)。若G是有向图,则路径也是有方向的,顶点序列满足<vij-1,vij>E

回路(环):第一个顶点和最后一个顶点相同的路径。

简单路径:序列中顶点不重复出现的路径。

简单回路(简单环):除了第一个顶点和最后一个顶点外,其余顶点不重复出现的回路。

7)连通图。连通分量

连通图:在无向图中,如果从一个顶点vi到另一个顶点vj(ij)有路径,则称顶点vivj是连通的。如果图中任意两个顶点都是连通的,则称该图是连通图。

连通分量:非连通图的极大连通子图称为连通分量

8)强连通图。强连通分量

强连通图:在有向图中,对图中任意一对顶点vivj (ij),若从顶点vi到顶点vj和从顶点vj到顶点vi均有路径,则称该有向图是强连通图。

强连通分量:非强连通图的极大强连通子图。

9)生成树。生成森林

生成树:n个顶点的连通图G的生成树是包含G中全部顶点的一个极小连通子图。

生成森林:在非连通图中,由每个连通分量都可以得到一棵生成树,这些连通分量的生成树就组成了一个非连通图的生成森林。

6.2图的存储结构和实现

6.2.2 邻接表

1.构造函数

ALGraph算法

 template

ALGraph :: ALGraph(DataType a[ ], int n, int e)

{

    vertexNum = n; arcNum = e;

    for (i = 0; i < vertexNum; i++)

   {                                             //输入顶点信息,初始化顶点表

        adjlist[i].vertex = a[i];

        adjlist[i].firstedge = NULL;     

    }

     for (k = 0; k < arcNum; k++) //输入边的信息存储在边表中

    {

         cin>>i>>j;   

         s = new ArcNode; s->adjvex = j;             

         s->next = adjlist[i].firstedge;   

         adjlist[i].firstedge = s;

     }

}

2.深度优先遍历算法

template

void ALGraph :: DFSTraverse(int v)

{

    cout << adjlist[v].vertex;  visited[v] = 1;

    p = adjlist[v].firstedge;       //工作指针p指向顶点v的边表

    while (p != NULL)              //依次搜索顶点v的邻接点j

    {

        j = p->adjvex;

        if (visited[j] == 0) DFSTraverse(j);

        p = p->next;          

    }

}

3.广度优先遍历算法

template

void ALGraph :: BFSTraverse(int v)

{

    front = rear = -1;   //初始化顺序队列

    cout << adjlist[v].vertex; visited[v] = 1; Q[++rear] = v;

    while (front != rear)           //当队列非空时

    {

        v = Q[++front];

        p = adjlist[v].firstarc;       //工作指针p指向顶点v的边表

        while (p != NULL)

        {

            j = p->adjvex;

            if (visited[j] == 0) {

               cout << adjlist[j].vertex; visited[j] = 1;Q[++rear] = j;

           }

           p=p->next;

        }

    }

}

6.3最小生成树

6.3.最小生成树的定义

生成树的代价:设G = (V, E)是一个无向连通网,生成树上各边的权值之和称为该生成树的代价。

最小生成树:在图G所有生成树中,代价最小的生成树称为最小生成树。

6.4最短路径

在非网图中,最短路径是指两顶点之间经历的边数最少的路径。

在网图中,最短路径是指两顶点之间经历的边上权值之和最短的路径。

问题描述:给定带权有向图G(V, E)和源点vV,求从vG中其余各顶点的最短路径。

应用实例——计算机网络传输的问题:怎样找到一种最经济的方式,从一台计算机向网上所有其它计算机发送一条消息。

图的存储结构:带权的邻接矩阵存储结构  

数组dist[n]:每个分量dist[i]表示当前所找到的从始点v到终点vi的最短路径的长度。初态为:若从vvi有弧,则dist[i]为弧上权值;否则置dist[i]为∞。

数组path[n]path[i]是一个字符串,表示当前所找到的从始点v到终点vi的最短路径。初态为:若从vvi有弧,则path[i]vvi;否则置path[i]空串。

数组s[n]:存放源点和已经生成的终点,其初态为只有一个源点v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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