JZ7斐波那契数列（四种解法）| 图文详解

题目描述
大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项（从0开始，第0项为0，第1项是1）。n<=39

此题是非常经典的入门题了。我记得第一次遇到此题是在课堂上，老师拿来讲“递归”的（哈哈哈）。同样的类型的题还有兔子繁殖的问题。大同小异。此题将用三个方法来解决，从入门到会做。
考察知识：递归，记忆化搜索，动态规划和动态规划的空间优化。
难度：一星

方法一：递归

题目分析，斐波那契数列公式为：f[n] = f[n-1] + f[n-2], 初始值f[0]=0, f[1]=1，目标求f[n]
看到公式很亲切，代码秒秒钟写完。

public class Solution {
    public int Fibonacci(int n) {
        if(n <= 1){
            return n ;
        }
        return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);
    }
}

优点，代码简单好写，缺点：慢，会超时
时间复杂度：O(2^n)
空间复杂度：递归栈的空间

方法二：记忆化搜索(优化递归)

拿求f[5] 举例

通过图会发现，方法一中，存在很多重复计算，因为为了改进，就把计算过的保存下来。
那么用什么保存呢？一般会想到map， 但是此处不用牛刀，此处用数组就好了。

public class Solution {
    public int Fibonacci(int n) {
        int ans[] = new int[40];
        ans[0] = 0;
        ans[1] = 1;
        for(int i=2; i <= n; i++){
            ans[i] = ans[i-1] + ans[i-2];
        }
        return ans[n];
    }
}

时间复杂度：O（n），没有重复的计算
空间复杂度：O（n）

方法三：动态规划(优化存储)

虽然方法二可以解决此题了，但是如果想让空间继续优化，那就用动态规划，优化掉递归栈空间。
方法二是从上往下递归的然后再从下往上回溯的，最后回溯的时候来合并子树从而求得答案。
那么动态规划不同的是，不用递归的过程，直接从子树求得答案。过程是从下往上。

其实我们可以发现每次就用到了最近的两个数，所以我们可以只存储最近的两个数
sum 存储第 n 项的值
one 存储第 n-1 项的值
two 存储第 n-2 项的值

public class Solution {
    public int Fibonacci(int n) {
       if(n == 0){
           return 0;
       }else if(n == 1){
           return 1;
       }
       int sum = 0;
       int one = 1;
       int two = 0;
       for(int i = 2; i <= n; i++){
           sum = one + two;
           two = one;
           one = sum;
       }
       return sum;
    }
}

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)

继续优化

观察上一版发现，sum 只在每次计算第 n 项的时候用一下，其实还可以利用 sum 存储第 n-1 项，例如当计算完 f(5) 时 sum 存储的是 f(5) 的值，当需要计算 f(6) 时，f(6) = f(5) + f(4)，sum 存储的 f(5)，f(4) 存储在 one 中，由 f(5)-f(3) 得到
如图：

public class Solution {
    public int Fibonacci(int n) {
        if(n == 0){
            return 0;
        }else if(n == 1){
            return 1;
        }
        int sum = 1;
        int one = 0;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            sum = sum + one;
            one = sum - one;
        }
        return sum;
    }
}

时间复杂度：O（n）
空间复杂度：O（1）