JZ7斐波那契数列(四种解法)| 图文详解

题目描述
大家都知道斐波那契数列,现在要求输入一个整数n,请你输出斐波那契数列的第n项(从0开始,第0项为0,第1项是1)。n<=39

此题是非常经典的入门题了。我记得第一次遇到此题是在课堂上,老师拿来讲“递归”的(哈哈哈)。同样的类型的题还有兔子繁殖的问题。大同小异。此题将用三个方法来解决,从入门到会做。
考察知识:递归,记忆化搜索,动态规划和动态规划的空间优化。
难度:一星

方法一:递归

题目分析,斐波那契数列公式为:f[n] = f[n-1] + f[n-2], 初始值f[0]=0, f[1]=1,目标求f[n]
看到公式很亲切,代码秒秒钟写完。

public class Solution {
    public int Fibonacci(int n) {
        if(n <= 1){
            return n ;
        }
        return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);
    }
}

优点,代码简单好写,缺点:慢,会超时
时间复杂度:O(2^n)
空间复杂度:递归栈的空间

方法二:记忆化搜索(优化递归)

拿求f[5] 举例
JZ7斐波那契数列(四种解法)| 图文详解_第1张图片

通过图会发现,方法一中,存在很多重复计算,因为为了改进,就把计算过的保存下来。
那么用什么保存呢?一般会想到map, 但是此处不用牛刀,此处用数组就好了。

public class Solution {
    public int Fibonacci(int n) {
        int ans[] = new int[40];
        ans[0] = 0;
        ans[1] = 1;
        for(int i=2; i <= n; i++){
            ans[i] = ans[i-1] + ans[i-2];
        }
        return ans[n];
    }
}

时间复杂度:O(n),没有重复的计算
空间复杂度:O(n)

方法三:动态规划(优化存储)

虽然方法二可以解决此题了,但是如果想让空间继续优化,那就用动态规划,优化掉递归栈空间。
方法二是从上往下递归的然后再从下往上回溯的,最后回溯的时候来合并子树从而求得答案。
那么动态规划不同的是,不用递归的过程,直接从子树求得答案。过程是从下往上。

其实我们可以发现每次就用到了最近的两个数,所以我们可以只存储最近的两个数
sum 存储第 n 项的值
one 存储第 n-1 项的值
two 存储第 n-2 项的值

public class Solution {
    public int Fibonacci(int n) {
       if(n == 0){
           return 0;
       }else if(n == 1){
           return 1;
       }
       int sum = 0;
       int one = 1;
       int two = 0;
       for(int i = 2; i <= n; i++){
           sum = one + two;
           two = one;
           one = sum;
       }
       return sum;
    }
}

时间复杂度:O(n)
空间复杂度:O(1)

继续优化

观察上一版发现,sum 只在每次计算第 n 项的时候用一下,其实还可以利用 sum 存储第 n-1 项,例如当计算完 f(5) 时 sum 存储的是 f(5) 的值,当需要计算 f(6) 时,f(6) = f(5) + f(4),sum 存储的 f(5),f(4) 存储在 one 中,由 f(5)-f(3) 得到
如图:
JZ7斐波那契数列(四种解法)| 图文详解_第2张图片

public class Solution {
    public int Fibonacci(int n) {
        if(n == 0){
            return 0;
        }else if(n == 1){
            return 1;
        }
        int sum = 1;
        int one = 0;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            sum = sum + one;
            one = sum - one;
        }
        return sum;
    }
}

时间复杂度:O(n)
空间复杂度:O(1)

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