图的关键路径
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(一) AOE网
事件 含义
v1 开工
v2 活动a1完成，活动a4可以开始
v3 活动a2完成，活动a5可以开始
v4 活动a3完成，活动a6可以开始
v5 活动a4与a5完成，活动a7和a8可开始,
v6 活动a6完成，活动a9可以开始
v7 活动a7完成，活动a10可以开始
v8 活动a8与a9完成，活动a11可以开始
v9 活动a10和a11完成，整个工程完成
边（弧）：代表活动（操作）；
边权：代表活动的持续时间。记边ak=
结点：代表事件（状态）。它表示它的各入边代表的活动均已完成，而它的出边代表的活动可以开始。
事实上，某结点代表的事件是它的各入边代表的活动的共同作用结果，同时也是它的各出边代表的活动的启动条件。AOE网中没有入边的结点称为始点，没有出边的结点称为终点。AOE一般用来描述工程进度，结点表示工程进展中的状态，边表示子任务。图 21‑4就是一个AOE网，它可以看作是一个具有11项子任务和9个状态的假想工程的进度图。
(二) AOE网的操作
针对AOE网的操作一般有下列几种:
关键路径CPM(Critical Path Method)。 这种操作最早用于维修与建筑行业中工期进度估算。
性能估计与复审PERT(Performance Evaluation and Review Technique)：该项操作最初是为了研制北极星式导弹系统而引入的。
资源分配与多工程调度RAMPS(Resource Allocation and Multi-Project Scheduling)
(三) 关键路径的若干基本概念
下面的阐述中，设AOE网的起点为v0终点为vn.
1．关键路径
AOE网中，从事件i到j的路径中，加权长度最大者称为i到j的关键路径（Critical Path），记为cp(i,j)。特别地，始点0到终点n的关键路径cp(0,n)是整个AOE的关键路径。
显然，关键路径决定着AOE网的工期，关键路径的长度就是AOE网代表的工程所需的最小工期。
2．事件最早/晚发生时间
事件vi的最早发生时间ve(i)定义为：从始点到vi的最长（加权）路径长度，即cp(0,i)
事件vi的最晚发生时间vl(i)定义为：在不拖延整个工期的条件下，vi的可能的最晚发生时间。即vl(i) = ve(n) - cp(i, n)
3．活动最早/晚开始时间
活动ak=
e(k) = ve(i) = cp(0, i)
活动ak=
l(k) = vl(j) – len(i, j)
这里，vl(j)是事件j的允许的最晚发生时间，len(i, j)是ak的权。
活动ak的最大可利用时间：定义为l(k)-e(k)
4．关键活动
若活动ak的最大可利用时间等于0（即(l(k)=e(k)），则称ak 为关键活动，否则为非关键活动。
显然，关键活动的延期，会使整个工程延期。但非关键活动不然，只要它的延期量不超过它的最大可利用时间，就不会影响整个工期。
关键路径的概念，也可以用这里的关键活动定义，即有下面的：
(一) 基本算法
关键路径算法是一种典型的动态规划法，这点在学了后面的算法设计方法后就会看到。下面就来介绍该算法。设图G=(V, E)是个AOE网，结点编号为1,2,...,n，其中结点1与n 分别为始点和终点，ak=
根据前面给出的定义，可推出活动的最早及最晚发生时间的计算方法：
e(k) = ve(i)
l(k) = ve(j) - len(i,j)
结点的最早发生时间的计算，需按拓扑次序递推：
ve(1) = 0
ve(j) = MAX{ ve(i)+len(i, j) }
对所有
vl(n) = ve(n)
vl(i) = MIN{vl(j) - len(i, j)} 对所有
关于 ve与vl的求法，可参阅图 21‑5。
这种计算方法， 依赖于拓扑排序， 即计算ve( j) 前，应已求得j 的各前趋结点的ve值，而计算vl(i)前，应已求得i的各后继结点的vl值。ve的计算可在拓扑排序过程中进行，即在每输出一个结点i后，在删除i的每个出边
if ( ve[i]+len(i,j)) > ve[j] )
ve[j] = ve[i] + len(i,j)
实际上，该操作对i的每个后继j分别进行一次。因此对程序作少量扩充即可求得ve。
vl的值可按类似的方法在逆拓扑排序过程（即直接按与拓扑序列相反的次序输出结点的过程）中求得，但一般不必专门这样进行。事实上，通过逆方向使用拓扑序列即可递推出各vl的值，假定拓扑序列是topoSeq，则vl 的值的求法为（结点编号为1~n）。
for (k=1; k<=n; k++) vl[k] = ve[n]; //初始化
for ( k=n; k>=1; k--)
{
i=topoSeq[k];
j=（i的第1个出点）;
while (j存在)
{
if (vl[j]-len(i,j)求图21-6 的AOE网的所有事件的最早发生时间ee()；所有事件的最迟发生时间le()；每项活动ai的最早开始时间e()和最迟开始时间l()，完成此工程最少需要多少天？那些是关键活动，是否存在某项活动，当其提高速度后能使整个工程缩短工期?
存储结构及算法设计
1、在结点的定义中增加ee和le 字段用于记录个事件的最早开始时间和最迟开始时间，同时得到关键路径和最小工期
2、邻接矩阵中使用边权代替原来连接标志1
3、进行拓扑排序，形成拓扑序列
1 2 3 4 5 6 7 8 9
4、按拓扑序列顺序，从前向后搜索寻找个活动（即边），若存在该活动，则计算相应事件的最早开始时间。
5、按拓扑序列顺序，从后向前搜索寻找个活动（即边），若存在该活动，则计算相应事件的最迟开始时间。
6、计算各活动的最早开始时间和最迟开始时间
算法源程序：
#include
#include
#define MaxVerNum 20
int visited[MaxVerNum];
typedef char VertexType;
typedef struct ArcNode
{
int adjvex; //该弧指向的顶点位置
struct ArcNode * nextarc; //指向下一个表结点
int info; //权值信息
}ArcNode; //边结点类型
typedef struct VNode
{
VertexType data;
int indegree;
ArcNode * firstarc;
}VNode, Adjlist[MaxVerNum];
typedef struct
{
Adjlist vertices; //邻接表
int vernum, arcnum; //顶点数和弧数
}ALGraph;
//查找符合的数据在数组中的下标
int LocateVer(ALGraph G, char u)
{
int i;
for(i = 0; i < G.vernum; i++)
{
if(u == G.vertices[i].data)
return i;
}
if(i == G.vernum)
{
printf("Error u!\n");
exit(1);
}
return 0;
}
//常见图的邻接矩阵
void CreateALGraph(ALGraph &G)
{
int i, j, k, w;
char v1, v2;
ArcNode * p;
printf("输入顶点数和弧数: ");
scanf("%d %d", &G.vernum, &G.arcnum);
printf("请输入顶点!\n");
for(i = 0; i < G.vernum; i++)
{
printf("请输入第 %d 个顶点: \n", i);
fflush(stdin);
scanf("%c", &G.vertices[i].data);
G.vertices[i].firstarc = NULL;
G.vertices[i].indegree = 0;
}
for(k = 0; k < G.arcnum; k++)
{
printf("请输入弧的顶点和相应权值(v1, v2, w): \n");
//清空输入缓冲区
fflush(stdin);
scanf("%c %c %d", &v1, &v2, &w);
i = LocateVer(G, v1);
j = LocateVer(G, v2);
p = (ArcNode *)malloc(sizeof(ArcNode));
p->adjvex = j;
p->info = w;
p->nextarc = G.vertices[i].firstarc;
G.vertices[i].firstarc = p;
G.vertices[j].indegree++; //vi->vj, vj入度加1
}
return;
}
//求图的关键路径函数
void CriticalPath(ALGraph G)
{
int i, k, e, l;
int * Ve, * Vl;
ArcNode * p;
//*****************************************
//以下是求时间最早发生时间
//*****************************************
Ve = new int [G.vernum];
Vl = new int [G.vernum];
for(i = 0; i < G.vernum; i++) //前推
Ve[i] = 0;
for(i = 0; i < G.vernum; i++)
{
ArcNode * p = G.vertices[i].firstarc;
while(p != NULL)
{
k = p->adjvex;
if(Ve[i] + p->info > Ve[k])
Ve[k] = Ve[i]+p->info;
p = p->nextarc;
}
}
//*****************************************
//以下是求最迟发生时间
//*****************************************
for(i = 0; i < G.vernum; i++)
Vl[i] = Ve[G.vernum-1];
for(i = G.vernum-2; i >= 0; i--) //后推
{
p = G.vertices[i].firstarc;
while(p != NULL)
{
k = p->adjvex;
if(Vl[k] - p->info < Vl[i])
Vl[i] = Vl[k] - p->info;
p = p->nextarc;
}
}
//******************************************
for(i = 0; i < G.vernum; i++)
{
p = G.vertices[i].firstarc;
while(p != NULL)
{
k = p->adjvex;
e = Ve[i]; //最早开始时间为时间vi的最早发生时间
l = Vl[k] - p->info; //最迟开始时间
char tag = (e == l) ? '*' : ' '; //关键活动
printf("(%c, %c), e = %2d, l = %2d, %c\n", G.vertices[i].data, G.vertices[k].data, e, l, tag);
p = p->nextarc;
}
}
delete [] Ve;
delete [] Vl;
}
void main()
{
ALGraph G;
printf("以下是查找图的关键路径的程序。\n");
CreateALGraph(G);
CriticalPath(G);
}