特征值特征矩阵与二次型（数学一）

特征值和特征向量 二次型

1.设A为n阶矩阵，若
Aα = λα（α≠0），则称λ是A的特征值，α是A的属于λ的特征向量。
将上式变形（λE-A）· α = 0 (α≠0)，即齐次线性方程组（λE-α）=0有非零解

2 求特征值与特征向量
方法一：
解方程|λE-A|=0 得特征值λ
解方程组（λE-A）α = 0 得特征向量α
方法二：利用定义Αα=λα

3.特征值的性质
设A为n阶矩阵，A的特征值为λ₁，λ₂，λ₃…λ_n,则

1. λ₁+λ₂+…+λ_n = ${\sum }_{i=1}^n$a_ii = tr(A), 称tr(A)= ${\sum }_{i=1}^n$a_ii为A的迹。
2. λ₁λ₂…λ_n=|A|

4 特征向量的性质

1. 不同特征值对应的特征向量是线性无关的
2. 设A为n阶矩阵，λ_k为A的k重特征值（k>1）,则属于λ_k的线性无关的特征向量个数不超过k个。
3. 设A为n阶矩阵，Aα₁ = λ₁α₁， Aα₂ = λ₂α₂， λ₁≠λ₂，其中α₁ ≠ 0，α₂ ≠ 0，则α₁ +α₂ 不是A的特征向量。

实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交
A~B 意味着 迹相同（对角线元素相加之和）并且 行列式相同
A=$\alpha {\beta }^T$,（α, β）意思是tr(A) = A的迹
A的特征值λ1，λ2.。。λn相乘为A的模

判断二次型正定，二次型系数矩阵的模 > 0