分块 --算法竞赛专题解析（25）

本系列文章将于2021年整理出版。前驱教材：《算法竞赛入门到进阶》 清华大学出版社
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1. 分块概念

   回顾“区间”问题，前面给出了暴力法、树状数组、线段树等算法。给定一个保存n个数据的数列，做m次“区间修改”和“区间查询”，每次操作只涉及到部分区间。暴力法只是简单地从整体上做修改和查询，复杂度O(mn)，很低效。树状数组和线段树都用到了二分的思想，以O(logn)的复杂度组织数据结构，每次只处理涉及到的区间，从而实现了O(mlogn)的高效的复杂度。
  虽然暴力法只能解决小规模的问题，但是它的代码非常简单。
  有一种代码比树状数组、线段树简单，效率比暴力法高的算法，称为“分块”，它能以$O(m\sqrt{n})$的复杂度解决“区间修改+区间查询”问题。简单地说，分块是用线段树的“分区”思想改良的暴力法；它把数列分成很多“块”，对涉及到的块做整体性的维护操作（类似于线段树的lazy-tag），而不是像普通暴力法那样处理整个数列，从而提高了效率。
  用一个长度为n的数组来存储$n$个数据，把它分为$t$块，每块长度为$n/t$。下图(1)是一个有10个元素的数组，共分成4块，前3块每块3个元素，最后一块1个元素。

图1 (1)分块          (2)与线段树的结构对比

  对比块状数组与线段树，线段树是一棵高度为logn的树，块状数组可以看成一棵高度为3的树，见图(2)。从图(2)可知，在线段树上做一次操作是$O(logn)$的，因为它有logn层；分块是$O(n/t)$的，因为它把数据分成了$t$块，处理一块的时间是$n/t$的。下面介绍分块算法，并详细说明复杂度。

2. 分块算法

  块操作的基本要素有：
  （1）块的大小。用block表示。
   （2）块的数量。用t表示。
   （3）块的左右边界。定义数组st[]、ed[]，用st[i]、ed[i]表示块i的第一个和最后一个元素的位置。st[1] = 1，ed[1] = block；st[2] = block+1，ed[2] = 2×block；…；st[i] = (i-1)*block+1，ed[i] = i*block；…
  （4）每个元素所属的块。定义pos[]，pos[i]表示第i个元素所在的块，pos[i]=(i-1)/block + 1。
   具体内容见下面的代码。其中每块的大小block的值等于$\sqrt{n}$取整，后面的“复杂度分析”会说明原因。如果$\sqrt{n}$的结果不是整数，那么最后要加上一小块，代码中重要的内容是处理这个问题。

int block = sqrt(n);          //块的大小：每块有block个元素。
int t = n/block;              //块的数量：共分为t块
if(n % block) t++;            //sqrt(n)的结果不是整数，最后加一小块
for(int i=1; i<=t; i++){      //遍历块
    st[i] = (i-1)*block+1;
    ed[i] = i*block;
}
ed[t] = n;                    //sqrt(n)的结果不是整数，最后一块较小
for(int i=1; i<=n; i++)       //遍历所有元素的位置
    pos[i]=(i-1)/block + 1;

  用分块解决区间问题很方便，下面以“区间修改+区间查询”（洛谷P3372）为例。
   首先定义区间有关的辅助数组：
   （1）定义数组a[]存储数据，共n个元素，读取初值，存储在a[1]、a[2]、…、a[n]中。
   （2）定义sum[]，sum[i]为第i块的区间和，并预处理出初值。

for(int i=1; i<=t; i++)                 //遍历所有的块
    for(int j=st[i]; j<=ed[i];j++)      //遍历块i内的所有元素
        sum[i] += a[j];

  （3）定义add[]，add[i]为第i块的增量标记，初始值为0。
   然后对数列a[]做“区间修改+区间查询”操作：
   （1）区间修改：将区间[L, R]内每个数加上d。
   情况1，[L, R]在某个i块之内，即[L, R]是一个“碎片”。把a[L]、a[L+1]、…、a[R]逐个加上d，更新sum[i] = sum[i] + d*(R - L + 1)。计算次数约为n/t。
   情况2，[L, R]跨越了多个块。在被[L, R]完全包含的那些整块内（设有k个块），更新add[i] = add[i] + d。对于不能完全包含的那些碎片（它们在k个整块的两头），按情况1处理。情况2的计算次数约为n/t + k，1 ≤ k ≤ t。
   总结两种情况，处理整块时，只更新sum[i]，不更新add[i]；处理碎块时，只更新add[i]，不更新sum[i]。

void change(int L,int R,int d){
    int p = pos[L], q = pos[R];
    if(p==q){                      //情况1，计算次数是n/t
       for(int i=L;i<=R;i++)  a[i]+=d;
       sum[p]+=d*(R-L+1);
    }
    else{                          //情况2
       for(int i=p+1;i<=q-1;i++)    add[i]+=d; //整块，有m=(q-1)-(p+1)+1个。计算m次
       for(int i=L;i<=ed[p];i++)    a[i]+=d;   //整块前面的碎片。计算n/t次
       sum[p]+=d*(ed[p]-L+1);
       for( int i=st[q];i<=R;i++)   a[i]+=d;   //整块后面的碎片。计算n/t次
       sum[q]+=d*(R-st[q]+1);
    }
 }

  （2）区间查询：输出区间[L, R]内每个数的和。
   情况1，[L, R]在某个i块之内。暴力加每个数，最后加上add[i]，答案是ans = a[L] + a[L+1] + … + a[R] + (R - L + 1)*add[i]。计算次数约为n/t。
   情况2，[L, R]跨越了多个块。在被[L, R]完全包含的那些块内（设有k个块），ans += sum[i] + add[i]*len[i]，其中len[i]是第i段的长度，等于n/t。对于不能完全包含的那些碎片，按情况1处理，然后与ans累加。计算次数约为n/t + k，1 ≤ k ≤ t。

long long ask(int L,int R) {
    int p=pos[L],q=pos[R];
    long long ans=0;
    if(p==q){                    //情况1
       for(int i=L;i<=R;i++)     ans += a[i];
       ans+=add[p]*(R-L+1);
    }
    else{//情况2
       for(int i=p+1;i<=q-1;i++)  ans+=sum[i]+add[i]*(ed[i]-st[i]+1);//整块
       for(int i=L;i<=ed[p];i++)  ans += a[i];   //整块前面的碎片
       ans += add[p]*(ed[p]-L+1);
       for(int i=st[q];i<=R;i++)  ans += a[i];   //整块后面的碎片
       ans += add[q]*(R-st[q]+1);
    }
    return ans;
 }

  分块算法的实现简单粗暴，没有复杂数据结构和复杂逻辑，很容易编码。
   分块算法的思想，可以概况为“整块打包维护，碎片逐个枚举¹”。

3. 复杂度分析

   把数列分为t块，t取何值时有最佳效果？
   观察一次操作的计算次数n/t和n/t + k，其中1 ≤ k ≤ t；当t = 时，有较好的时间复杂度O( )。m次操作的复杂度是$O(m\sqrt{n})$，适合求解m = n = 105规模的问题，或 ≈107的问题。对复杂度的直观理解，请看图1。
   空间复杂度：需要分配长度为 的数组st[]、ed[]、sum[]、add[]和长度为n的pos[]、a[]，约3*MAXN，比线段树的9*MAXN好得多。不过，分块只能解决m = n = $10^5$规模的问题，而线段树是$10^6$规模的，应用场景不同，直接对比空间无意义。

4. 例题

   有些题目用普通的线段树、树状数组求解很难编码，而用分块比较容易。

例题1：区间第k大问题。

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教主的魔法 洛谷P2801
题目描述：有N个数，有两种操作，区间修改（加）、区间询问。
输入：第1行有两个整数n、m。第2行有n个正整数。第3行到第m + 2行，每行是一个操作，有两种操作：
（1）第一个字母是“M”，后面三个数字L、R、W，表示对闭区间[L, R]内每个数加上W。
（2）第一个字幕是A，后面三个数字L、R、C，询问闭区间[L, R]内有多少数字大于等于C。
输出：对每个“A”询问输出一行，包含一个整数，表示大于等于C的数有多少个。
数据范围：n ≤ 1,000,000，m ≤3000，1 ≤ W≤1000，1 ≤ C≤1,000,000,000

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题解：
   如果用复杂度O(mn)的算法，不能通过测试。
   询问区间[L, R]有多少数字大于等于C，等同于问C是区间第几大，即“区间第k大”问题，标准解法是主席树，m次操作的复杂度是O(mlogn)。
   本题的n较小，用“分块 + 二分”算法，复杂度满足要求，而且代码很容易写。容易想到以下分块操作方法：
   （1）首先读取数列a[]，把它分为$\sqrt{n}$块。
   （2）区间修改。每个块维护一个add标记，用于记录块内的增量W；更新时，区间内的整块更新add，不完整的碎片，暴力更新其中的每个数。
   （3）区间查询。大于等于C的数有多少？如果直接暴力搜每个块，复杂度为O(n)，不能满足要求。如果块中的数是有序的，那么用二分来找大于C的数，复杂度为O(logn)。但是块内的数是无序的，需要先排序再用二分（可以直接用lower_bound()函数），复杂度O(nlogn + logn)，还不如直接暴力搜。如果能“一次排序，多次使用”，就高效了。
   下面是改进后的算法。
   （1）在区间操作前，对每个块的初始值排序，复杂度O(nlogn)。不过，排序会改变原来元素的位置，所以定义一个辅助数组b[]，它的初值是数列a[]的复制，排序操作在b[]上进行。也就是说，b[]的每个块内部都是有序的，对b[]的某个块统计前k个数，就是对a[]的对应块统计前k个数。
   （2）区间修改。如果是整块，维护add标记，不用在b[]上对整块再排序，因为它仍然保持有序；如果是碎片，暴力修改a[]上对应位置的数，然后把碎片所在的整块复制到b[]上，对这个块重新排序。复杂度 = 整块维护 + 碎片排序 = O($\sqrt{n}+\sqrt{n}log(\sqrt{n})$)。
   （3）区间查询。对整块，因为已经是有序的，直接在b[]的对应整块上二分查询；对碎块，暴力搜a[]上的碎块。复杂度 = 整块查询 + 碎片查询 = O($\sqrt{n}log(\sqrt{n})+\sqrt{n}$)。
   做m次区间操作，以上三者相加，总复杂度是$O(nlogn)+O(m(\sqrt{n}+\sqrt{n}log(\sqrt{n}))\approx O(m\sqrt{n}log(\sqrt{n}))$。勉强通过测试。

例题2：hdu 5057

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Argestes and Sequence hdu 5057
Time Limit: 5000/2500 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
题目描述：给定一个序列，有n个非负整数a[1], a[2],…, a[n]。做“单点修改 + 区间查询”操作。
输入：第一行是整数T，表示测试用例数量。对每个测试，第一行包含两个数字n、m。第二行是n个非负整数，用空格分割，后面有m行，每行表示一个操作，有两种操作：
S X Y: 修改操作，把a[x]的值置为y，即a[x] = y；
Q L R D P: 查询操作，询问区间[L, R]内有多少个数的第D位是P。
输出：对每个Q询问，输出一行答案。
数据范围：1≤T≤50，1≤n, m≤100000，0≤a[i]≤$2^{31}$-1，1≤X≤n，0≤Y≤$2^{31}$-1，1≤L≤R≤n，1≤D≤10，0≤P≤9

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题解：
   首先试试分块，看复杂度是否符合要求。
   用分块编码非常容易。把数组分为$\sqrt{n}$块，然后定义block[i][D][P]，表示第i块第D位是P 的总个数。
   （1）初始化。读取数组a[]的初值，根据a[]计算出block[][][]的初值。复杂度O(n)。
   （2）修改操作。单点修改a[x]，根据a[x]更新block[][][]。复杂度O(1)。
   （3）查询操作。在碎片上，暴力计算[L, R]内的每个a[]。在整块上，累加所有整块的block[][][]即可。复杂度 = 整块的计算 + 碎片的计算 = O($\sqrt{n}$) + O($\sqrt{n}$) = O($\sqrt{n}$)。
   总复杂度 = 初始化 + m个操作 = O(n) + O(m$\sqrt{n}$)，勉强通过测试。
   此题也可以用树状数组，并且这是一道练习树状数组的好题。树状数组的基础功能是“单点修改 + 区间查询”，符合本题的要求。
   一个数据最多有D = 10位，每位有P = 0~9这10个数，所以询问共有D*P = 10*10 = 100种情况。
   如果所有的操作只涉及一种情况，用树状数组很容易编程。例如所有的a[i]都只有1位，这1位要么是0，要么是1，然后询问区间[L, R]内有多少个1。这是最基本的树状数组。
   但是，如果100种情况都用树状数组来处理，需要定义的树状数组是int tree[10][10][100000]，需要40M空间，超内存。所以必须把tree减少一维，即int tree[10][100000]，此时需要用离线操作的技巧。
   （1）先读取并保存所有的修改和查询操作。
   （2）“用时间换空间”，分10次处理所有的操作，第1次处理第1位，第2次处理第2位，…等等。每次处理用int tree[10][100000]，分别处理0~9这10个数；这相当于使用了10个树状数组tree[10][100000]。记录查询操作的结果。
   （3）按顺序输出查询的结果。
   计算复杂度是多少？上面的步骤，等于做了10次O(mlogn)的树状数组，注意不是做了100次，请思考原因。树状数组的效率比分块高很多，不过编码的难度要高很多倍。

例题3：洛谷 P3203

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弹飞绵羊 洛谷 P3203
题目描述：一条直线上摆着n个弹簧，每个弹簧有弹力系数$k_i$，当绵羊到第$i$个弹簧时，它会被弹到第$i+k_i$个位置，若不存在第$i+k_i$个弹簧，则绵羊被弹飞。
绵羊想知道当它从第i个弹簧起步时，被弹几次后会被弹飞。为了使游戏有趣，允许修改某个弹簧的弹力。弹力系数始终为正。
输入：第一行包含一个整数n，表示地上有n个装置，编号0~n-1。接下来有n个正整数，依次为n个弹簧的初始弹力系数。第三行有一个正整数m，表示操作次数。接下来m行每行至少有两个数$i$，$j$。
若$i$=1，你要输出从j出发被弹几次后弹飞。
若$i$=2，则再输入一个正整数k，表示第j个弹簧的弹力系数被改成k。
输出：对每个$i$=1的操作，输出一行一个整数表示答案。
数据范围：1≤n≤2×$10^5$，1≤m≤$10^5$。

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题解：
   本题是“单点修改+单点查询”，如果用暴力法，每次查询是O(n)的，m次操作，总复杂度O(mn)，超时。本题的标准解法是动态树LCT，复杂度O(mlogn)。下面用分块求解，编码很简单，复杂度O(m$\sqrt{n}$)，勉强通过测试。
   把整个序列分成$\sqrt{n}$块，对于每个点i，维护两个值：step[i]表示绵羊从第i个点弹出它所在的块所需要的次数、to[i]表示从第i个点所在的块弹出后落到其他块的点。先预处理初始值，复杂度O(n)。
   单点查询。从起点出发，根据to[]找到下一个点（这个点在其他块里），累加这个过程中所有的step[]即得到总次数，大于n的时候跳出。最多经过$\sqrt{n}$个块，每块计算一次，复杂度O($\sqrt{n}$)。
   单点修改。step[i]和to[i]只与i所在的块有关，与其他块无关，所以单点修改只需要维护一个块，复杂度O($\sqrt{n}$)。

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1. 《算法竞赛进阶指南》李煜东，225页称为“大段维护，局部朴素”。部分代码参考224页。 ↩︎