【最短路径算法】迪杰斯特拉算法

目录

应用场景

图的存储结构 —— 邻接矩阵

算法思想

举例子说明具体思路 

伪代码

算法实现

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应用场景

1. 这个算法用于解决图中单源最短路径问题（单源节点是指给定源节点）求图中其它节点到此源节点的最短路径。给定源节点a，求节点b到a的最短距离。

2. 对带权图（有无向均可）寻找最短路径

3. 对不含负权的图来讲，是目前最快的单源最短路径算法

4. 时间复杂度O（n2）

 

图的存储结构 —— 邻接矩阵

 

二维数组lines[I][j]表示顶点i到顶点j的路径权重，不能到达的设置为无穷大

 

算法思想

 

Dijkstra的大致思想就是：

1. 根据初始点，挨个的把离初始点最近的点一个一个找到并加入集合，集合中所有的点的d[i]都是该点到初始点最短路径长度

2. 由于后加入的点是根据集合S中的点为基础拓展的，所以也能找到最短路径

 

 

用到的变量除了记录路径的lines数组之外，需要一个额外的集合point保存已经找到最短路径的顶点和距离（初始化时只有起点）

我们这里用一个point[i]数组来记录

例如对于某个顶点i，如果point[i]为xx则表示这个顶点在集合中并且距离为xx，如果point[i]为无穷大则表示这个顶点不在集合中

 

先选定某一个顶点，再推敲到达该顶点的距离问题

1. 从lines[s]数组选择最小值，则该值就是源点s到该值对应的顶点的最短路径，并且把该点加入到集合point中，此时选定一个顶点K

2. 查看新加入的顶点K是否可以到达其他顶点以比源点直接到达更短，如果是，那么就替换这些顶点在lines[k]中的值

3. 重复上述动作，直到point中包含了图的所有顶点。

 

举例子说明具体思路 

起点1

1. 源点为1

   1. 从lines[1]中寻找最短的路径，确定顶点为2，point[2] = 7

   2. 没有其他路径

   3. 最终point[2] = 7，新的源点为2

2. 源点为2

   1. 寻找lines[2]中的最小值，确定顶点为顶点3，路径为 point[3] = point[2]+min(lines[2][3] = 17

   2. 查看顶点3是否可以通过集合内的其他点(1)到达 point[3] = min (point[k] + lines[k][3]) = 9

   3. point[3] = 9，新的源点为3

3. 源点为3

   1. 寻找lines[3]中最小值为2，确定顶点为6，point[6] = point[3] + lines[3][6] = 11

   2. 查看顶点6是否可以通过集合内的其他点(1,2)到达 point[6] = min (point[k] + lines[k][6]) = 14

   3. point[6] = 11，新的源点为6

4. 源点为6

   1. 确定顶点为5...

   2. ….

   3. ...

5. 源点为5

   1. 确定顶点为4

   2. ...

   3. ...

6. 完成

 

伪代码

for(顶点0 ： 所有顶点) {

     

    1 初始化points



    2 循环顶点次数-1次(这里一定要减一，N个顶点找N-1次，如果不减一，最后一次找不到新的end会出错)



        2.1for循环寻找从start开始最近的点 end（确定顶点），当然这个顶点是未在集合中的,所以有points[k] == Integer.MAX_VALUE限制


        2.2更新points数组中其他点到end的值（确定值）



        2.3 start=end，设定新的源点为start

}

 

算法实现

 

应用题目：

 

说明：

1. lines中不可到达设置的0

2. 顶点为0-N，起点为0

private static void dijkstra(int[][] lines,int[] points) {

    // 1 初始化points

    for(int i = 1; i < points.length; i++) {

        points[i] = Integer.MAX_VALUE;

    }

    // 2 算法流程

    int start = 0; //从起点0开始

    int end = 0;

    for (int j = 0; j < points.length - 1; j++) {

        int min = Integer.MAX_VALUE;

        // 2.1 for循环寻找从start开始最近的点 end（确定顶点）

        for (int k = 0; k < points.length; k++) {

            if (points[k] == Integer.MAX_VALUE && lines[start][k] != 0 && lines[start][k] < min) {

                min = lines[start][k];

                end = k;

            }

        }

        points[end] = points[start] + min;

        // 2.2更新points数组中其他点到end的值（确定值）

        for (int k = 0; k < points.length; k++) {

            points[end] = lines[k][end] != 0 ? Math.min(points[end],(points[k] + lines[k][end])) : points[end];

        }

        // 2.3end作为新的源点

        start = end;

    }

}