视觉SLAM十四讲--第四章李群和李代数

李群和李代数的概念和用处:

三维世界刚体运动的方式有多重,除了用来描述相机的位姿之外,还需要对它们进行估计和优化。一种典型的方式是把它构建成一个优化问题,李群和李代数就是进行相关运算。

因为旋转矩阵自身是带约束的(正交切行列式为1),它们作为优化变量时会引入额外的约束,通过李群–李代数间的转换关系,转换成无约束的问题。

概念:

1.李群的概念:

李群是具有连续(光滑)性质的群;它既是群也是流行;直观上看,一个刚体能够连续的在空间中运动,故SO(3)和SE(3)都是李群。(注:SO(3)是特殊正交群 SE(3)是特殊欧式群,由于旋转矩阵R是3乘3的维度,但自由度的约束只有3个自由度,所以旋转矩阵R在9维空间中是一个连续的3维曲面或流形)但是,SO(3)和SE(3)只有定义良好的乘法,没有加法,所以难以进行取极限和求导等操作。 但能不能做一些近似或分析上的事情呢?下面来看李代数的概念。

2.李代数的概念:

李代数是与李群对应的一种结构,位于向量空间。通常通常记作小写的so(3)和se(3),事实上李代数是李群单位元处的正切空间。

切空间本身是一个向量空间,所以切空间就可以定义很好的加法运算了。由此可以借由李代数这个切空间去研究对应的李群的一些性质。

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从公式看出,旋转矩阵和变换矩阵对加法是不封闭的,也就是,任意两个旋转矩阵想家,结果不再是旋转矩阵。

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它们没有良好定义的加法,只有一种较好的运算:乘法(两个旋转矩阵相乘,表示做了两次旋转,这种只有一个运算的集合叫做群

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李群:是指具有连续(光滑)性质的群。 (像整数群那样里显得群没有连续性质,不是李群。) S O ( n ) 和 S E ( n ) SO(n)和SE(n) SO(n)SE(n) 它们在实数空间上是连续的----一个刚体能够连续的在空间中运动,所以他们都是李群。

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可以看出 R ˙ ( t ) R ( t ) T \dot{\bm{R}}(t)\bm{R(t)}^T R˙(t)R(t)T是一个反对称矩阵。任意一个向量我们都可以将其写成反对称矩阵,同理,任意反对成矩阵,也可以找到一个与之对应的向量。

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