[kuangbin带你飞]专题四 最短路 题解+总结
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总结：
本人算是初学者中的初学者，欢迎交流~
kuangbin的专题确实是理解最短路的一大途径，这篇博客主要记录题解，顺便总结最短路的题型。
A.模板题 参考1 . 6 . 10
B.变形最短路 （求最大边权的最小值or最小边权的最大值） 参考2 . 3
C.变形最短路 （求往返最短路的最大值） 参考4
D.变形最短路 （求往返最短路之和） 参考5
E.含负权边的最短路 （spfa判负环） 参考 7 . 11 . 12
F. 确定排名 参考8
G.差分约束系统 （<=最短路 and >=最长路） 参考9 . 11
ps:跑最短路求得就是最大的距离，跑最长路求的就是最小的距离
H.判正环 参考 13 . 14
差分约束系统介绍
最短路其实不难，难点在于建图，剩下五道题没灵感，等国庆后补。
kuangbin之外：
最短路计数
最短路+二分
最短路+dp
分层图最短路
文章目录
- 总结：
- 1.Til the Cows Come Hom
- 2.Frogger
- 3.Heavy Transportation
- 4.Silver Cow Party
- 5.Invitation Cards
- 6.Tram
- 7.Wormholes
- 8.Cow Contest
- 9.Candies
- 10.MPI Maelstrom
- 11.Layout
- 12.Extended Traffic
- 13.Currency Exchange
- 14.Arbitrage
1.Til the Cows Come Hom
原题链接：传送门
思路：
- 经典最短路模板题，注意一下输入的坑，起点为n，终点为1，其他没有什么问题。
- VJ不能用万能头！！！VJ不能用万能头！！！VJ不能用万能头！！！
代码如下：
#include2.Frogger
原题链接：传送门
思路：
- 变形最短路求最大边权的最小值。
- 由于题目给的数据过小，可以考虑floyd，不过 d[i][j] 不在表示点i到点j 的最短路，而是点i到点j路径中最大边权的最小值，可以通过改变松弛操作实现：
- 原先的松弛操作：d[i][j]= min( d[i][j], d[i][k] + d[k][j]) ;
- 本题的松弛操作：d[i][j]= min( d[i][j] ,max( d[i][k] , d[k][j] );
AC代码如下：
// #include3.Heavy Transportation
原题链接：传送门
思路：
- 同上，本题为变形最短路，但这里求的是最小边的最大值并且n的范围到达了1e3，O（n^3)的时间复杂度已经不够看了，这里我用的是spfa。
- 同样松弛操作需要修改一番。
- 原本的松弛操作 ： d[v]= min(d[v], d[u]+w);
- 本题的松弛操作 ： d[v]= max(d[v] , min(d[u], w);
- 这里d[v]表示的是到达v点的所有路径中最小边的最大值。
AC代码如下：
#include4.Silver Cow Party
原题链接：传送门
思路：
- 求所有点到源点的最短往返路程的最大值。
- 同理，n的范围达到1e3，不能用floyd，不然直接 min( d[i][v]+ d[v][i]) 完事。
- 这里我是用dij，对于每个点都跑一次dij，开二维数组保存每个点的最短路。
AC代码如下：
// #include5.Invitation Cards
原题链接：传送门
思路：
- 依然是求往返路程，但这道题求的是各节点到源点的往返路程之和，而且这道题的n范围更离谱，导致这里不能用邻接表存边。
- 所以这道题应该正向和反向存图，然后dij跑两遍，求相加求和即可。
AC代码如下：
// #include6.Tram
原题链接：传送门
思路：
- 这道题可以说是模板题，主要是题意理解，然后按题意建边即可。
AC代码如下：
// #include7.Wormholes
原题链接：传送门
思路：
- spfa判定负环的模板题，只要有负环存在，那么负环会越缩越小，即时间无限回溯，即可以回到出发之前。
AC代码如下：
// #include8.Cow Contest
原题链接：传送门
思路：
- 给定u,v即u打败v，求明确排名的点的个数。
- 像这种数据范围小于1e3的题目看到第一反应就要想到floyd，即对所给边确定 d[u][v]=1，然后通过松弛操作 d[i][j] = （ d[i][k] && d[k][j] ) ? 1 : 0;
- 然后对n个点进行遍历，如果这个点跟其他n-1个点都确定关系，即这个点的排名是确定的。
AC代码如下：
// #include9.Candies
原题链接：传送门
思路：
- 给定各种约束条件，求最大差异。
- 由于约束条件中出现<= ，即求最短路 ，理解后就是模板题。
AC代码如下：
// #include10.MPI Maelstrom
原题链接：传送门
思路：
- n的范围是1e2级别的，可以考虑floyd，模板题。
- atoi(s) 是STL的一个函数，可以把一个字符数组s转化成整型数字。
AC代码如下：
// #include11.Layout
原题链接：传送门
思路：
- 这道题可以说是差分约束系统和判断负环的结合，可以先尝试先做本博客的7和9题再来做这道题。
- 对于 A-B<=X; C-D>=Y;
- 把第二个式子 *（-1）即：C-D>=y -> D-C<=-y 这样两个式子都是小于等于方便求最短路。
AC代码如下：
// #include12.Extended Traffic
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思路：
- 这道题可以说spfa判负环的模板题。
- 但是有个坑点是用pow函数必须用（int）强转，不然会wa ，本人实测wa5发 卡了半小时才发现是这里出错了。
AC代码如下：
// #include13.Currency Exchange
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思路：
- 一种货币就是一个点，一个“兑换点”就是图上两种货币之间的一个兑换方式，求货币是否增值就是求图中是否存在正环，即跟求负环条件相反即可，具体代码见。
AC代码如下：
// #include14.Arbitrage
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思路：
- 跟13题一样是货币兑换的问题，依然求正环，由于这道题的数据规模不大，考虑floyd，在输入的时候把数据处理好即可。
- 原本松弛操作： d[i][j]= min( d[i][j], d[i][k] + d[k][j])
- 本题松弛操作： d[i][j]= max( d[i][j], d[i][k] * d[k][j])
AC代码如下：
// #include