图Graph原理及证明

G=(V,E)
V=节点
E=节点之间的边
n=|V| 节点数
m=|E| 边数

V = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
E = { 1-2, 1-3, 2-3, 2-4, 2-5, 3-5, 3-7, 3-8, 4-5, 5-6, 7-8 }
m = 11, n = 8

一、定义：

• 简单路径：如果路径上的各顶点均不互相重复，称这样的路径为简单路径。

• 连通图：如果对每对节点u和v，它们之间有路径相连，则这个图是连通的。

• 环：一个环是v1,v2,…vk的路径，其中v1=vk,k>2，并且前k-1个点各不相同。

• 树:如果一个无向图是连通的并且无环，则这个图是一棵树。

• 定理： G为一个无向图，下面的两个描述可以推出第三个：
  (1)G是连通的
  (2) G是无环的
  (3)G有n-1条边
  证明:（待证）

二、无向图的搜索

• BFS（广度优先搜素）
  从所有可能的方向向外搜索，一次增加一层。
  **定理：**对每个i,Li由所有与s距离为i的顶点组成。当且仅当t出现在某一层中时，s到t有一条路径相连。
  性质： T为G=(V,E)的BFS树,(x,y)为G的一条边，则x和y的层数最多相差1。

如果图用邻接链表表示，BFS运行时间为O(m+n)

三、二部图

• 定义：如果所有节点被染成白色或蓝色，使得每条边都有一个白色和一个蓝色端点，则这个无向图G=(V,E)是二部图。

• 应用：
  稳定匹配：男人=蓝色，女人=白色
  工作安排：机器=蓝色，工作=白色
• **引理：**如果一个图是二部图，它不可能有奇数长度的环。
  证明：不可能使得奇数环的所有边端点颜色不同，更不用说整个图G,不可能为二部图。

• 引理：

G为一个连通图，让L0,L1,…Lk为从s开始BFS遍历生成的层。
(i) G没有边连接同一层的两个顶点，则G是二部图。
(ii)G的边连接同一层的两个顶点，则G包含一个奇数环。 .

• 证明(i)：

  • 没有边连接同一层的节点
  • 根据BFS树的性质，边相连的两个节点层数最多相差1，则所有边连接相邻层的节点
  • 分成两部分：白色=奇数层的节点，蓝色=偶数层的节点

• 证明(ii)：

  • 假设(x,y)是x,y在相同层Lj的一条边
  • z=lca(x,y)=最小共同祖先
  • z在Li层
  • 考虑从x到y的边，y到z的路径，z到x的路径组成的环。
  • 环长度为 1+（j-i)(y到z的路径长度)+(j-i)（z到x的路径长度），长度为奇数。

  

四、有向图

• 互相可达：有从u到v的路径,同时也有从v到u的路径，则u和v互相可达。

• 强连通：如果有向图中的每对节点都是互相可达的，则这个图是强连通的。

• 引理：s为有向图中任意的一个节点，当且仅当从s到每个节点是可达的，从每个节点到s是可达的，则这个有向图是强连通的。

• 定理：在O(m+n)时间内可以计算出有向图是否是强连通的。
  证明：

  • 任意选择一个节点s
  • 在图G中从s开始运行BFS
  • 在图G_reverse(G中的每条边反向的图G_reverse)中从s开始运行BFS.
  • 当且仅当运行以上两个BFS都满足所有顶点可达时，返回true。